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任务详解:1.行列式的引入二阶行列式三阶行列式计算三阶或更加高阶的行列式
2.行列式的计算与重要性质3.行列式按行(列)展开,代数余子式4.克莱姆法则
本课程来自深度之眼,部分截图来自课程视频。 【第一章 线性代数】1.2矩阵的行列式 在线LaTeX公式编辑器 任务详解:这节课主要介绍了行列式的引入,行列式的计算与重要性质,行列式按行(列)展开,代数余子式,克莱姆法则,矩阵的逆,矩阵逆的性质等知识点。 掌握目标: 1、了解如何从解方程的角度引入二阶三阶行列式 2、掌握全排列,逆序数,以及n阶方阵行列式的一般运算公式 3、掌握特殊矩阵:对角矩阵,上(下)三角矩阵行列式的公式 4、熟练掌握行列式的性质,以及如何通过变换转为上(下)三角矩阵来简化行列式的计算 5、掌握行列式的按行按列展开,余子式和代数余子式 6、了解克莱姆法则,掌握n*n方程组的解的个数的定理 1.行列式的引入 二阶行列式行列式最早是从解方程组的角度来的,例如二阶行列式: 用消元法解二元线性方程组: { a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 \begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}=b_{1}\\\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}=b_{2}\end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2 为消去未知数 x 2 x_2 x2,以 a 22 a_{22} a22与 a 12 a_{12} a12分别乘上列两方程的两端,然后两个方程相减,得: ( a 11 a 22 − a 12 a 21 ) x 1 = b 1 a 22 − a 12 b 2 (a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})x_{1}=b_{1}a_{22}-a_{12}b_{2} (a11a22−a12a21)x1=b1a22−a12b2 消去未知数
x
1
x_1
x1得:
(
a
11
a
22
−
a
12
a
21
)
x
2
=
a
11
b
2
−
b
1
a
21
(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})x_{2}=a_{11}b_{2}-b_{1}a_{21}
(a11a22−a12a21)x2=a11b2−b1a21 求得方程组的解为
x
1
=
b
1
a
22
−
a
12
b
2
a
11
a
22
−
a
12
a
21
x_{1}=\frac{b_{1}a_{22}-a_{12}b_{2}}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}
x1=a11a22−a12a21b1a22−a12b2
x
2
=
a
11
b
2
−
b
1
a
21
a
11
a
22
−
a
12
a
21
x_{2}=\frac{a_{11}b_{2}-b_{1}a_{21}}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}
x2=a11a22−a12a21a11b2−b1a21 公式输入好累,还是截图方便。 若记(D) 下面称为3* 3数表的三阶行列式。按照此式的定义,三元一次方程组也是满足前面二元一次方程组的行列式表达形式,后面更加通用的克莱姆法则。 1.全排列:比如1,2,3的全排列有哪些。 123/132/213/231/312/321, 也就是n个数的全排列有n!种 2.逆序数:记为t,直接看例子 求排列32514的逆序数. 解在排列32514中: 3排在首位,逆序数为0; 2的前面比2大的数有一个(3),故逆序数为1; 5是最大数,逆序数为0; 1的前面比1大的数有三个(3、2、5),故逆序数为3; 4的前面比4大的数有一个(5),故逆序数为1; 于是这个排列的逆序数为t=0+1+0+3+1=5. 下面来计算三阶行列式: 性质1:行列式与它的转置行列式相等:
∣
A
T
∣
=
∣
A
∣
|A^T|=|A|
∣AT∣=∣A∣ 性质2:互换行列式的两行(列),行列式变号 以上两个性质要很熟悉! 推论:如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式等于零. 性质3:行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k,等于用数k乘此行列式. 性质4:行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式等于零. 性质5:若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和,例如第i列的元素都是两数之和: 降阶处理,用低阶的行列式来算高阶的行列式 先导概念:余子式,代数余子式 克莱姆法则如下图所示,注意两点: 1、D(系数行列式不能为0); 2、
D
j
D_j
Dj是把常数项
b
b
b替换第j列得到的行列式。 |
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