微积分简单介绍与个人分享（十四）

本节深化一下导数的理解。介绍一下差分和差商的概念。

给定一个函数，它在处作一个增量（不一定很小），规定该函数在处的差分为：，其实就是函数值的增量。结合第九节的知识可以看出，当自变量增量变得无限小时，差分就会变成微分，也就是函数值的微小增量，它与自变量增量成线性关系。

规定在处的差商为差分与自变量增量的比值。那么当增量足够小时，这个比值将逐渐趋于一个数（也就是差分与自变量增量成近似线性关系），这是因为增量足够小时，差商就变成了微分与自变量增量的比值，也就是导数值。（插一句：关于函数值的增量的微分称为函数值的微分（也就是），相应的可以把关于自变量的增量的称为自变量的微分（也就是）。由于导数等于两者的比，所以也可以叫做微商（不是卖东西的那个微商））这样我们就明确了差分与微分、差商与微商的关系。

为了引出二阶导数的概念，先介绍二阶差分。

差分是函数值的增量，于是可以写成：，那么自然想到差分的差分，即，来看看它等于什么。我们有：，那么：

可以看出它的意义是函数先作了一个增量，再在这个基础上又作了一次增量，用作了两次增量后的函数值与作了一次增量的函数值的差，减去一次增量的函数值与原函数值的差。为了方便理解放一个图：

意义即为。其中，。

增量足够小时，一阶差分与自变量增量成线性关系，而二阶差分会与自变量增量的平方会成线性关系（待会会讲），我们把二阶差分与自变量增量的平方的比值称作二阶差商。

一阶差商的极限是导数，那么二阶差商的极限是什么？来计算一下。

我们把记作，记作，那么二阶差商等于：。变一点戏法：

当自变量增量足够小时，分母就变成了导数相减，分别是作一个增量即处的导数和处的导数。（在上图中即为点和点的导数）于是变成了：

（注意：这样推出二阶导数是不严谨的，可以看看远在第四十九节的注）这不就是我们熟悉的导数公式嘛。只不过这次是在求导函数的导数值。于是我们发现二阶差商的极限即为二阶导数值。同样的我们定义二阶导函数为对所有自变量的值都求一遍二阶导数值，即：

将二阶导函数简称二阶导数。记作。或者由于一阶导数是，那么二阶导数还可以是：，为了方便我们把它们“相乘”，为：，也可以表示二阶导数。二阶导数即为导数的变化率。也可以看出为什么之前说二阶差分会与增量的平方成线性关系。

再放几个图：

显示了极限的过程。

求二阶导数时只要对一阶导数再求导就好。比如函数，有，则。

对导数求导得到二阶导数，同理我们可以对二阶导数求导得到三阶导数，接着四阶、五阶...

三阶导数可以记作，不过这么写下去太麻烦，故把阶导数记作：，比如四阶导写成：等等。当然都可以统一写成：。

用物理理解导数是很方便的，只要学过高一的物理就知道：速度是路程函数的一阶导数，加速度是二阶导数。（急动度是三阶导数）

高阶导数有很广泛的应用。例如后面会讲到函数的泰勒级数、凹凸性与Jensen不等式、讲傅里叶级数时要举经典的热传导微分方程的例子，那个微分方程就需要用到二阶差分、二阶导数等知识。

注1：差分不止有本节所讲的这种形式，有兴趣的读者可以百度一下。

注2：本节讨论的是连续函数形式，针对离散情况来说，差分可以等价于微分而不需要极限，这是因为离散情况下自变量增量会存在一个最小单位，这里不细说了。

注3：对于导数和高阶导数的更多意义及应用会在讲完所有求导方法后再讲。

本来打算先不讲高阶导数，不过想到讲参数方程求导必须要提一嘴高阶导数，这里还是先讲了。