分离参数法【中级和高阶辅导】

在高中数学教学实践中，有一种使用频度比较高的数学方法，叫分离参数法，她和许多数学素材有关联，高三学生大多都耳熟能详，但对其具体的来由和需要注意的问题却不是很清楚，本博文试着对此做个总结，以廓清我们认识上的误区，帮助我们提高教学，也帮助学生顺利掌握这一方法。

引例：(2018宝鸡市二检理科第10题)关于\(x\)的方程\(\sqrt{3}sin2x+cos2x-k-1=0\)在\([0，\cfrac{\pi}{2}]\)内有两个实数根，则\(k\)的取值范围是【\(\hspace{2em}\)】。

A.\((1,2)\) \(\hspace{2cm}\) B.\([0,2)\) \(\hspace{2cm}\) C.\([0,1)\) \(\hspace{2cm}\) D.\([-2,1)\)

\(\hspace{2em}\)分析：遇到这样的题目，我们一般是这样做的，先转化为\(k+1=2sin(2x+\frac{\pi}{6})，x\in [0，\cfrac{\pi}{2}]\)，然后分别作出函数\(y=k+1\)和函数\(y=2sin(2x+\frac{\pi}{6})，x\in [0，\cfrac{\pi}{2}]\)的图像，利用图像就可以知道，要使得两个函数有两个交点，需要满足\(1\leq k+10\)，若对任意的\(m，n∈[0，1](m\neq n)\)，\(|f_1(m)-f_1(n)|>|f_2(m)-f_2(n)|\)恒成立，求\(a\)的最大值。

【分析】利用函数的单调性去掉绝对值符号，构造新函数，可以将问题再次转化为恒成立，然后分离参数求解。

【解答】不妨设\(m>n\)，则函数\(f_1(x)\)在区间\([0，1]\)上单调递增，故\(f_1(m)-f_1(n)>0\)，

又\(f_2(x)=a(x-1)^2+b-a\)，对称轴是\(x=1\)，开口向上，

故函数\(f_2(x)\)在区间\([0，1]\)上单调递减，故\(f_2(m)-f_2(n)n)\)，\(|f_1(m)-f_1(n)|>|f_2(m)-f_2(n)|\)恒成立，

就可以转化为\(f_1(m)-f_1(n)>f_2(m)-f_2(n)\)恒成立，

即\(f_1(m)+f_2(m)>f_1(n)+f_2(n)\)恒成立，

令\(h(x)=f_1(x)+f_2(x)=e^x+ax^2-2ax+b\)，

则到此的题意相当于已知\(m>n\)时，\(h(m)>h(n)\)，

故函数\(h(x)\)在区间\([0，1]\)上单调递增，故\(h'(x)≥0\)在区间\([0，1]\)上恒成立；

即\(h'(x)=e^x+2ax-2a≥0\)在区间\([0，1]\)上恒成立；

即\(2a(1-x)≤e^x\)恒成立，这里我们使用倒数法分离参数得到，

\(\cfrac{1}{2a}≥\cfrac{1-x}{e^x}\)在区间\([0，1]\)上恒成立；

再令\(p(x)=\cfrac{1-x}{e^x}\)，即需要求\(p(x)_{max}\)，

\(p'(x)=\cfrac{-1×e^x-(1-x)e^x}{(e^x)^2}=\cfrac{x-2}{e^x}\)，

容易看出，当\(x∈[0，1]\)时，\(p'(x)0\)，

故解得\(00\)且\(x\neq 1\)，不等式\(\cfrac{x-m}{g(x)}>\sqrt{x}\)恒成立等价于

当\(01\)时，\(m0，x\neq 1)\)，\(h'(x)=\frac{2\sqrt{x}-lnx-2}{2\sqrt{x}}\)

令\(\phi(x)=2\sqrt{x}-lnx-2\)，则\(\phi'(x)=\frac{\sqrt{x}-1}{x}\)；

易知\(\phi(x)\)在\((0，1)\)上单调递减，在\((1，\infty)\)上单调递增，

所以\(\phi(x)>\phi(1)=0\)，即得到\(h'(x)>0\)，

因此由①式可得，\(m\ge h(1)=1\)，由②式得\(m\leq h(1)=1\)

取两种结果的交集，所以\(m=1\)。

故不等式\(\cfrac{x-m}{g(x)}>\sqrt{x}\)恒成立的充要条件是\(m=1\)。

引例1、(2017湖南郴州二模)若命题“\(P：\exists x_0\in R，2^x_0-2+3a\leq a^2\)”是假命题，则实数\(a\)的取值范围是__________。

分析：由题目可知，命题“\(\neg P：\forall x\in R，2^x-2> a^2-3a\)”是真命题，即\(2^x-2> a^2-3a\)对\(\forall x\in R\)恒成立，

故\((2^x-2)_{min}>a^2-3a\)，只需求\((2^x-2)_{min}\)，而\(2^x-2>-2\)，则有\(-2\ge a^2-3a\)，即\(a^2-3a+2\leq 0\)，

解得\(1\leq a\leq 2\)，故实数\(a\)的取值范围是\([1，2]\)。

引例2、已知函数\(f(x)=-x^2+ax+b^2-b+1(a\in R,b\in R)\),对任意实数\(x\)都有\(f(1-x)=f(1+x)\)成立，若当\(x\in[-1,1]\)时，\(f(x)>0\)恒成立，则\(b\)的取值范围是_____________.

分析：先由\(f(1-x)=f(1+x)\)得到，二次函数的对称轴\(x=-\cfrac{a}{-2}=1\)，解得\(a=2\)，

故题目转化为\(-x^2+2x+b^2-b+1>0\)对任意\(x\in [-1,1]\)恒成立，

用整体法分离参数，得到\(b^2-b>x^2-2x-1\)对任意\(x\in[-1,1]\)恒成立。

令\(g(x)=x^2-2x-1，x\in[-1,1]\)，需要求函数\(g(x)_{max}\)；

\(g(x)=x^2-2x-1=(x-1)^2-2，x\in[-1，1]\)，故\(g(x)\)在区间\([-1，1]\)上单调递减，则\(g(x)_{max}=g(-1)=2\)，

故\(b^2-b>2\)，解得\(b2\)。

比如，已知函数\(f(x)=kx^2-lnx\)有两个零点，求参数\(k\)的取值范围，用不完全分离参数法，即得到方程\(kx^2=lnx\)有两个不同实根，具体解法链接

并不是所有的含参问题都适合分离参数，比如\(ax^2-a^2x+30\)时有解，求参数的取值范围；

本题目就不能将参数和自变量有效的分离开的，此时我们就可以考虑用数形结合的思路求解。解法

引例，已知函数\(f(x)=x^2+ax-2a\ge 0\)对\(x\in [1，5]\)上恒成立，求参数\(a\)的取值范围。

如果用分离参数的方法，则先转化为\((x-2)a\ge -x^2，x\in [1，5]\)

接下来就转化成了三个恒成立的命题了，不管会不会做，从效率上都已经很不划算了。具体的解法已经隐藏。

\(\hspace{2em}\)比如函数\(f(x)=x^2-2x+a(e^{x-1}+e^{-x+1})\)有唯一的零点，分离参数后，得到\(a=\cfrac{-x^2+2x}{e^{x-1}+e^{-x+1}}=h(x)\)，

你确信你能研究清楚函数\(h(x)\)的性质，并用手工做出函数的图像吗？省省吧，您呐。

比如已知\(2a-1+sin2x+a(sinx-cosx)\ge 0\)在\(x\in [0，\cfrac{\pi}{2}]\)上恒成立，求参数\(a\)的取值范围。\([1，+\infty)\)

接下来的思路有：

思路一：分离参数，当分离为\(a\ge \cfrac{1-sin2x}{2+sinx-cosx}=g(x)\)时，你会发现，求函数\(g(x)_{max}\)很难，所以放弃；

思路二：链接，转化划归，令\(sinx-cosx=t=\sqrt{2}sin(x-\cfrac{\pi}{4})\)，由于\(x\in [0，\cfrac{\pi}{2}]\)，故\(t\in [-1，1]\)

由\((sinx-cosx)^2=t^2\)，得到\(sin2x=1-t^2\)，故不等式转化为\(at+1-t^2+2a-1\ge 0\)，

即\(t^2-at-2a\leq 0\)在\(t\in [-1，1]\)上恒成立，令\(h(t)=t^2-at-2a，t\in [-1，1]\)，

则\(h(t)\leq 0\)等价于\(\begin{cases}h(-1)=1+a-2a\leq 0\\h(1)=1-a-2a\leq 0 \end{cases}\)，解得\(a\ge 1\)，

例12【2019届高三理科数学二轮用题】已知函数\(f(x)=mx-\cfrac{1-m}{x}+lnx\)，要使得函数\(f(x)>0\)恒成立，则正实数\(m\)应该满足【】

法1：先考虑分离参数法，若能成功分离参数，那么得到的形式必然是\(m>g(x)\)或\(m0\)恒成立，则需要求在\((0，+\infty)\)上的函数\(f(x)_{min}>0\)即可，故考虑用导数方法；

\(f'(x)=\cfrac{(x+1)[mx+(1-m)]}{x^2}\)， 故函数在\(x=\cfrac{m-1}{m}\)处取到最小值，则要使得函数\(f(x)>0\)恒成立，只需要\(f(\cfrac{m-1}{m})>0\)即可，

对此化简整理得到，正实数\(m\)应该满足\(\cfrac{m-1}{m}\cdot e^{2m-1}>1\)，故选\(C\)。

解后反思：本题目的解法有点漏洞，条件中应该使得\(m>1\)，而不仅仅是\(m>0\)，否则当\(00\)，则\(m(x)\)在\((0，1)\)上单调递增，故\(m(x)