图像的DCT算法

一，背景介绍 DCT，即离散余弦变换，常用图像压缩算法，步骤如下 1）分割，首先将图像分割成8x8或16x16的小块； 2）DCT变换，对每个小块进行DCT变换； 3）舍弃高频系数（AC系数），保留低频信息（DC系数）。高频系数一般保存的是图像的边界、纹理信息，低频信息主要是保存的图像中平坦区域信息。 4）图像的低频和高频，高频区域指的是空域图像中突变程度大的区域（比如目标边界区域），通常的纹理丰富区域。

二，图像 二维DCT变换就是将二维图像从空间域转换到频率域。形象的说，就是计算出图像由哪些二维余弦波构成 F = A f A T F = AfA^T F=AfAT A ( i , j ) = c ( i ) c o s [ ( j + 0.5 ) π N i ] A(i,j) = c(i) cos[\frac{(j+0.5)\pi} {N}i] A(i,j)=c(i)cos[N(j+0.5)π​i]

其中F就是变换得到的系数，f是图像的像素值，A是转换矩阵，其中i为二维波的水平方向频率，j为二维波的垂直方向频率，取值范围都是0-(N-1)，N是图像块的大小， c ( i ) = { 1 N , i = 0 2 N , i ≠ 0 c(i)=\left\{ \begin{array}{rcl} \sqrt{\frac{1}{N}}, & & {i =0}\\ \sqrt{\frac{2}{N}}, & & {i \neq{0}}\\ \end{array} \right. c(i)=⎩⎨⎧​N1​ ​,N2​ ​,​​i=0i​=0​ 1）求出转换矩阵A； 2）利用转换矩阵A，转换到频域，即由图像 f 得到系数矩阵F。

三，Matlab实现图像块DCT变换

结果：

四，DCT反变换 F = A f A T F=AfA^T F=AfAT f = A − 1 F ( A T ) − 1 f = A^{-1} F (A^T)^{-1} f=A−1F(AT)−1 A是正交矩阵，所以有 A T = A − 1 A^T=A^{-1} AT=A−1,所以求得： f = A T F A f = A^TFA f=ATFA 五，Matlab实现DCT反变换 基于前面得到的转换矩阵A，则DCT反转换后面加一行代码即可： f _ c o n v e r t = A ′ F A f\_convert = A'FA f_convert=A′FA

六，对图像进行DCT变换 效果图，分别是原图，所有dct系数小块组成图，反dct变换回来的图：

将图像分成8x8的小块，对每个小块依次进行dct变换，反变换回来时，也是依次处理每个小块。 matlab代码：

放大后的dct系数块组成的图像：

1）发现每个小块的左上角，即一个DC系数，最亮，保存的是原图像低频信息，反应的是空域图像中平坦区域的信息； 2）小块的其他地方，即63个AC系数，保存的是高频信息，反应的是空域图像中的突变区域的信息； 3）对整个图像而言，背景区域是平坦区域，没有纹理信息，所以AC系数很小，而代表亮度信息的DC系数很大； 4）头发区域不仅含有亮度信息，纹理信息也丰富，所以AC系数值很大。

七，不分块，直接对整个图像DCT变换