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Ker(A)
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根据维基百科定义，kernel在线性代数和泛函分析中的定义为： 线性映射
L
:
V
↦
W
L:V\mapsto W
L:V↦W，V和W为两个向量空间，满足
L
(
v
⃗
)
=
0
⃗
L(\vec{v})=\vec{0}
L(v
)=0
的所有元素
v
⃗
\vec{v}
v
组成的空间，称为kernel或nullspace。 数学表示为：
k
e
r
(
L
)
=
{
v
⃗
∈
V
∣
L
(
v
⃗
)
=
0
}
ker(L)=\{\vec{v}\in V|L(\vec{v})=0\}
ker(L)={v
∈V∣L(v
)=0} 看上图的黄色区域即左侧为源，右侧的黄色区域即为L的像。 左侧V源的Ker(L)的所有源都映射到右侧的0(向量)点。左侧V源除Ker(L)外的所有源点通过L都将映射到右侧的im(L)空间内，于是有： i m ( L ) ≅ V / k e r ( L ) im(L)\cong V/ker(L) im(L)≅V/ker(L) 【In linear algebra, the quotient of a vector space V by a subspace N is a vector space obtained by “collapsing” N to zero. The space obtained is called a quotient space and is denoted V/N (read V mod N or V by N).】 根据rank-nullity定理 举例如下： 参考资料： [1] https://en.wikipedia.org/wiki/Kernel_(linear_algebra) [2] https://en.wikipedia.org/wiki/Rank%E2%80%93nullity_theorem [3] https://en.wikipedia.org/wiki/Quotient_space_(linear_algebra) |
如上图所示，当两个不同的元素
v
1
⃗
,
v
2
⃗
\vec{v_1},\vec{v_2}
v1
,v2
具有相同的image(W空间黄色区域内)时，则意味着
v
1
⃗
−
v
2
⃗
\vec{v_1}-\vec{v_2}
v1
−v2
在L的kernel空间内：
L
(
v
1
⃗
)
=
L
(
v
2
⃗
)
⇔
L
(
v
1
⃗
−
v
2
⃗
)
=
0
⃗
L(\vec{v_1})=L(\vec{v_2})\Leftrightarrow L(\vec{v_1}-\vec{v_2})=\vec{0}
L(v1
)=L(v2
)⇔L(v1
−v2
)=0
相应地有：dim(ker(L))+dim(im(L))=dim(V)。
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