一次弄懂香浓极限的含义（几种信噪比含义探讨）

问：LTE中为什么使用30.72MHz的采样率去采样实际带宽为18MHz的信号？是否满足于“奈奎斯特采样定理”？ 满足。

    下图给出了白噪声信号的功率谱示意图，观察到带宽为W的白噪声在频谱图上占据了2W的宽度。 由于实信号具有共轭对称的频谱，从信息的角度来看，其负频谱部分是冗余的，将实信号的负频谱部分去掉，只保留正频谱部分的信号，其频谱不存在共轭对称性，所对应的时域信号应为复信号。复数信号处理的好处有：对于数字通信，在基带处理带通信号，可以使有效带宽减少一半，进而对于AD 的采样率要求，FFT的处理能力等都有改善。

    解析信号的实部和虚部是正交的，是希尔伯特变换对，实部就是原信号或者说是实际存在的信号。由此我们可以利用希尔伯特变换得到解析信号。在雷达信号中，对于中频信号需要变换成零中频的复信号，称为视频信号（不一定解析，但是实部和虚部是正交的），有正交变换法，希尔伯特变换法，多相滤波法，插值法等多种方法，可以根据具体要求选取适当的方法。这些方法在雷达原理、软件无线电、通信理论等书籍和文献中都能找到很多。用复信号表示信号，构造解析信号减少一半频带是一个优点；用来表示实信号时，运算简便也是一个很重要的优点。2 另外，实际表示复数变量使用实部和虚部两个分量。复信号也一样，必须用实部和虚部两路信号来表示它，两路信号传输会带来麻烦，实际信号的传输总是用实信号，而在信号处理中则用复信号。3

    信号处理引入复信号的原因只是一个——方便数学处理。实际信号不存在复信号，只存在实信号，将复信号按照数学规律叠加即可 得到实信号。 问：信号处理为什么引入复信号？4 对复数信号进行采样需要同时进行I、Q两路采样，但是这两路采样是相关的（相位相差pi/2），其中I路信号对应复信号的实部，即实际信号，Q信号对应复信号的虚部，引入Q信号即可进行复数计算处理。

    复数信号与实数信号的关系如下： c o s k w t = ( e x p ( j k w t ) + e x p ( − j k w t ) ) / 2 ; cos kwt = (exp(jkwt)+exp(-jkwt))/2 ; coskwt=(exp(jkwt)+exp(−jkwt))/2; s i n k w t = ( e x p ( j k w t ) − e x p ( − j k w t ) ) / 2 j ; sin kwt = (exp(jkwt)-exp(-jkwt))/2j ; sinkwt=(exp(jkwt)−exp(−jkwt))/2j; a*cos kwt与b*sin kwt对应的exp(jkwt)与exp（-jkwt）的系数分别为(a/2+b/2j)、（a/2-b/2j），因此复信号的幅相系数是双边频谱（共轭对称）。复信号80M的带宽，对应的实际信号带宽只有40M。而且，要从复信号的频谱中提取实际信号的频谱（幅相），也需要进行一定的计算转换。对复信号进行采样需要满足 Fs>B，而对实信号进行采样需要满足Fs>2Fmax。(这个说法不太准确) 问：对I、Q信号两路进行采样，是不是采样一次相当于采样两次？ 答：并非如此，I、Q信号是相参的，采样了I信号即能计算出相应的Q信号。但是这是建立在I路采样充分的基础上的（即Fs>2*Fmax），如果I路采样不充分，那么Q路的采样信号可以补充这种采样不充分。（那么，I、Q路同时采样只需要Fs>Fmax，就可以了吗？这一点需要进一步分析）

这一小节探讨香浓极限的计算过程。第一步给出香浓极限的结论。

    信道容量为： C = 1 2 log ⁡ 2 ( 1 + S N ) C=\frac{1}{2} \log _{2}\left(1+\frac{S}{N}\right) C=21​log2​(1+NS​) 由于信道的带宽为 B，所以如果要信号带宽也在 B 以内，则根据乃奎斯特采样定理，采样率必须满足： F s ≤ 2 B F_{s} \leq 2 B Fs​≤2B 所以单位时间内的信道容量为： C t = 2 B C = B log ⁡ 2 ( 1 + S N ) C_{t}=2 B C=B \log _{2}\left(1+\frac{S}{N}\right) Ct​=2BC=Blog2​(1+NS​) 对于AWGN信道，先推导出S/N与Eb/N0之间的关系： S N = E b T b N 0 2 ⋅ 2 B = E b N 0 ⋅ R b B \frac{S}{N}=\frac{\frac{E_{b}}{T_{b}}}{\frac{N_{0}}{2} \cdot 2 B}=\frac{E_{b}}{N_{0}} \cdot \frac{R_{b}}{B} NS​=2N0​​⋅2BTb​Eb​​​=N0​Eb​​⋅BRb​​ 带入得到： C B = log ⁡ 2 ( 1 + E b N 0 ⋅ R b B ) \frac{C}{B}=\log _{2}\left(1+\frac{E_{b}}{N_{0}} \cdot \frac{R_{b}}{B}\right) BC​=log2​(1+N0​Eb​​⋅BRb​​) 上图中的 R b R_b Rb​可以表示成为 R b = f s ∗ C o d e R a t e ∗ M o d e R_b = fs*CodeRate*Mode Rb​=fs∗CodeRate∗Mode。假定 R = C o d e R a t e ∗ M o d e R = CodeRate*Mode R=CodeRate∗Mode，那么有如下结果： S N = 2 R E b N 0 \frac{S}{N}=2 R \frac{E_{b}}{N_{0}} NS​=2RN0​Eb​​ 因此我们知道AWGN波形信道容量为： C = 1 2 log ⁡ 2 ( 1 + S N ) = log ⁡ 2 ( 1 + 2 R E b N 0 ) \begin{aligned} C &=\frac{1}{2} \log _{2}\left(1+\frac{S}{N}\right) \\ &=\log _{2}\left(1+\frac{2 R E_{b}}{N_{0}}\right) \end{aligned} C​=21​log2​(1+NS​)=log2​(1+N0​2REb​​)​ 如果C=R为常数，只需要求解上述方程，可得： E b N 0 = 2 2 R − 1 2 R \frac{E_{b}}{N_{0}}=\frac{2^{2 R}-1}{2 R} N0​Eb​​=2R22R−1​ 这个结论与通信之美中的结论是一致的。这个结论满足于没有调制只有编码的条件下，但是明显有个问题就是不满足信噪比之间的转换关系（EsN0于EbN0之间的关系）。究竟是哪里出了问题？

IMPORTANT

有前辈曾对我说BPSK调制有3dB的增益，然而BPSK其实相当于只有编码没有调制。如果加上3dB的增益，那么符合这里的结果。 对于纯编码，R代表码率。这里传输的实际上是实数信号，（fs=2B）所以信噪比的关系如此。 E b N 0 = 2 2 R − 1 2 R \frac{E_{b}}{N_{0}}=\frac{2^{2 R}-1}{2 R} N0​Eb​​=2R22R−1​ S N = 2 R E b N 0 \frac{S}{N}=2 R \frac{E_{b}}{N_{0}} NS​=2RN0​Eb​​ 对于QPSK或者其他高阶的调制来说，有如下结论。这里传输的实际上是复数信号(fs = B)，所以信噪比的关系是这样。而在通信链路中，均采用这样的方式去计算EbN0与EsN0之间的关系。 E b N 0 = 2 R − 1 R \frac{E_{b}}{N_{0}}=\frac{2^{R}-1}{R} N0​Eb​​=R2R−1​ S N = R E b N 0 \frac{S}{N}=R \frac{E_{b}}{N_{0}} NS​=RN0​Eb​​ 其中$R = CodeRate*Mode $。 由此，我们便得到了香浓极限的计算方法。

仿真基于下面的代码。

仿真结果表明，在AWGN 信道下，码率为1/2 的Turbo 码在达到误比特率（BER) ≤ 10−5时，Eb/N0仅为约0.7dB （这种情况下达到信道容量的理想Eb/N0值为0db），远远超过了其他的编码方式，一时在信息和编码理论界引起了轰动。6

    这里结果与我们的仿真结果是很接近的，有理由相信计算方式是正确的。

下面代码提供turbo编解码模版，未添加符号匹配和调制等内容。