steffensen迭代法

steffensen

迭代法

    steffensen

迭代法是一种收敛速度较快的迭代法，它是以变尺度和

Aitken

理论为基

础而提出的。谢尔夫森迭代法是用来求解非线性方程的迭代法。最开始，它在

schaefer(1961)

中被引入，他为迭代方程推导了一种更新算法，后来又被

Hansen(1970)

介

绍，他把谢尔夫森迭代法应用到求解复杂的非线性方程的计算中。

谢尔夫森迭代法的基本思想是提出一种简单而鲁棒的迭代更新公式，使得初始值近似

求解的过程快速收敛。

Steffensen

迭代法在找到迭代更新公式时，引入了

Aitken

理论。

因此它与

Netwon-Raphson

和弦向量迭代法相似，是一个双插值法。

Aitken

最原始的形式

是用均值平方差求极限，谢尔夫森迭代法就是将

Aitken

理论用在求根上，引入变尺度概

念，来进行收敛迭代。

谢尔夫森迭代法主要有以下四个关键步骤：

（

1

）将给定的非线性方程化为变量的方程：

$$f(x)=0$$

（

2

）变换坐标轴，引入变量

u

：

$$F(x+u

⋅

h,x)=0$$

（

3

）采用

Aitken

或平均拉格朗日插值求下列函数的极值：

$$u_{n+1} = arg 

minA_n(0)$$

（

4

）最后，获得的结果就是每次迭代的新值：

$$x_{n+1}=x_n + u_{n+1}h$$

然后重复以上四个步骤，直到收敛为止。优点是计算量少，速度快，而且具有非常好

的收敛性，使得初始值使得迭代近似值较快地收敛。缺点是，对于高次非线性方程，需要

多项式拟合，这就要求实验数据要足够多。