【通信原理 入坑之路】

写在前面：本博文是《深入浅出通信原理》的学习笔记，仅供个人学习记录使用

先回顾一下用实数运算实现BPSK调制的框图：

还记得我们讲BPSK调制的时候，都是假的与 c o s ω 0 t cosω_0t cosω0​t相乘的都是直流分量+1或-1，但是真实传输过程中往往没有那么简单，经常会是一些非周期信号。我们假设 x ( t ) x(t) x(t)的频谱如下所示：

我们通过上篇博文学习到的傅里叶变换，看看这个非周期的复杂信号 x ( t ) x(t) x(t)和余弦载波 c o s ω 0 t cosω_0t cosω0​t相乘之后的频谱有什么特征： X ′ ( ω ) = ∫ − ∞ + ∞ x ( t ) c o s ω 0 t e − j ω t d t = ∫ − ∞ + ∞ x ( t ) 1 2 ( e j ω 0 t + e − j ω 0 t ) e j ω t d t = 1 2 ∫ − ∞ + ∞ x ( t ) e j ( ω 0 − ω ) t d t + 1 2 ∫ − ∞ + ∞ x ( t ) e − j ( ω + ω 0 ) t d t = 1 2 ∫ − ∞ + ∞ x ( t ) e − j ( ω − ω 0 ) t d t + 1 2 ∫ − ∞ + ∞ x ( t ) e − j ( ω + ω 0 ) t d t = 1 2 X ( ω − ω 0 ) + 1 2 X ( ω + ω 0 ) \begin{aligned} X'(ω) &= \int_{-∞}^{+∞}x(t)cosω_0te^{-jωt}dt\\ &=\int_{-∞}^{+∞}x(t)\frac{1}{2}(e^{jω_0t} + e^{-jω_0t})e^{jωt}dt\\ &=\frac{1}{2}\int_{-∞}^{+∞}x(t)e^{j(ω_0 - ω)t}dt + \frac{1}{2}\int_{-∞}^{+∞}x(t)e^{-j(ω + ω_0)t}dt\\ &=\frac{1}{2}\int_{-∞}^{+∞}x(t)e^{-j(ω - ω_0)t}dt + \frac{1}{2}\int_{-∞}^{+∞}x(t)e^{-j(ω + ω_0)t}dt\\ &=\frac{1}{2}X(ω - ω_0) + \frac{1}{2}X(ω + ω_0) \end{aligned} X′(ω)​=∫−∞+∞​x(t)cosω0​te−jωtdt=∫−∞+∞​x(t)21​(ejω0​t+e−jω0​t)ejωtdt=21​∫−∞+∞​x(t)ej(ω0​−ω)tdt+21​∫−∞+∞​x(t)e−j(ω+ω0​)tdt=21​∫−∞+∞​x(t)e−j(ω−ω0​)tdt+21​∫−∞+∞​x(t)e−j(ω+ω0​)tdt=21​X(ω−ω0​)+21​X(ω+ω0​)​ 通过对 x ( t ) c o s ω 0 t x(t)cosω_0t x(t)cosω0​t的傅里叶变换，我们发现：当信号 x ( t ) x(t) x(t)与 c o s ω 0 t cosω_0t cosω0​t相乘之后，相当于将 x ( t ) x(t) x(t)的频谱 X ( ω ) X(ω) X(ω)一分为二，分别向左和向右移动 ω 0 ω_0 ω0​（也要注意幅度的变换：二分之一！）

【注意：如果频谱用的是 X ( f ) X(f) X(f)表示，那么就相当于 X ( f ) X(f) X(f)一分为二，分别向左和向右移动f】！

那么乘上了载波 c o s ω 0 t cosω_0t cosω0​t之后的频谱变为：

我们先来看看一个脉冲宽度为1的矩形波和频率 f c f_c fc​ = 5Hz的载波相乘的频谱变化：

从之前的学习中我们知道：矩形波信号的频谱是： X ( f ) = τ s i n c ( τ f ) X(f) = τsinc(τf) X(f)=τsinc(τf) 其中， τ τ τ是脉冲宽度，那么对于上面这个脉冲宽度为1的矩形波 x ( t ) x(t) x(t)，它的频谱就可以表示为： s i n c ( f ) sinc(f) sinc(f)，代码如下：

它与载波相乘之后， X ′ ( f ) X'(f) X′(f)相当于原频谱一分为二，分别向左和向右移动f的过程，因此，有：

为了便于对比，我们将这两个频谱放到一起：

关于从时域上理解BPSK调制解调，可以参考： 【通信原理 入坑之路】 —— 深入理解BPSK调制和解调的全过程及其Matlab实现 时域上，将 x ( t ) x(t) x(t)信号和余弦载波 c o s ω 0 t cosω_0t cosω0​t相乘的时域波形是这样的：

下面，我们从三维空间看看正负脉冲和余弦载波相乘的频谱：

我们看看Q路信号与正弦载波 s i n ( ω 0 t ) sin(ω_0t) sin(ω0​t)相乘的频谱变化：

X ′ ( ω ) = ∫ − ∞ + ∞ x ( t ) s i n ω 0 t e − j ω t d t = ∫ − ∞ + ∞ x ( t ) ( − j 2 ) ( e j ω 0 t − e − j ω 0 t ) e − j ω t d t = ∫ − ∞ + ∞ x ( t ) ( − j 2 ) e j ( ω 0 − ω ) t d t + ∫ − ∞ + ∞ x ( t ) j 2 e − j ( ω 0 + ω ) t d t = ∫ − ∞ + ∞ x ( t ) ( − j 2 ) e − j ( ω − ω 0 ) t d t + ∫ − ∞ + ∞ x ( t ) j 2 e − j ( ω 0 + ω ) t d t = − j 2 X ( ω − ω 0 ) + j 2 X ( ω + ω 0 ) \begin{aligned} X'(ω) &= \int_{-∞}^{+∞}x(t)sinω_0te^{-jωt}dt\\ &=\int_{-∞}^{+∞}x(t)(-\frac{j}{2})(e^{jω_0t} - e^{-jω_0t})e^{-jωt}dt\\ &=\int_{-∞}^{+∞}x(t)(-\frac{j}{2})e^{j(ω_0 - ω)t}dt + \int_{-∞}^{+∞}x(t)\frac{j}{2}e^{-j(ω_0 + ω)t}dt\\ &=\int_{-∞}^{+∞}x(t)(-\frac{j}{2})e^{-j(ω - ω_0)t}dt + \int_{-∞}^{+∞}x(t)\frac{j}{2}e^{-j(ω_0 + ω)t}dt\\ &=-\frac{j}{2}X(ω - ω_0) + \frac{j}{2}X(ω + ω_0) \end{aligned} X′(ω)​=∫−∞+∞​x(t)sinω0​te−jωtdt=∫−∞+∞​x(t)(−2j​)(ejω0​t−e−jω0​t)e−jωtdt=∫−∞+∞​x(t)(−2j​)ej(ω0​−ω)tdt+∫−∞+∞​x(t)2j​e−j(ω0​+ω)tdt=∫−∞+∞​x(t)(−2j​)e−j(ω−ω0​)tdt+∫−∞+∞​x(t)2j​e−j(ω0​+ω)tdt=−2j​X(ω−ω0​)+2j​X(ω+ω0​)​ 我们发现，信号与正弦载波 s i n ( ω 0 t ) sin(ω_0t) sin(ω0​t)相乘，频谱的变化有两个：

下面我们从三维角度看看信号与正弦载波相乘的频谱：

下面，我们将I路信号与余弦载波 c o s ω 0 t cosω_0t cosω0​t相乘的频谱、Q路信号与 s i n ( ω 0 t ) sin(ω_0t) sin(ω0​t)相乘的频谱画在一起：

首先对下面的代码进行一些解释： 我们在本博客里面的仿真，比如说BPSK调制解调还是QPSK调制解调的频域分析，我们都默认I路，Q路信号都是脉冲宽度为1的矩形波，因此，I路信号和Q路信号的频谱都可以用sinc函数表示。

因此，下面代码中的xf_cos就表示： I c o s ( ω 0 t ) Icos(ω_0t) Icos(ω0​t)的频谱，xf_sin就表示 Q s i n ( ω 0 t ) Qsin(ω_0t) Qsin(ω0​t)的频谱 或者我们这样想： I c o s ( ω 0 t ) Icos(ω_0t) Icos(ω0​t)的频谱就是上图那些红色的图， Q s i n ( ω 0 t ) Qsin(ω_0t) Qsin(ω0​t)的频谱就是上图那些蓝色的图，那么由于 s ( t ) = I c o s ( ω 0 t ) + Q s i n ( ω 0 t ) s(t) = Icos(ω_0t) + Qsin(ω_0t) s(t)=Icos(ω0​t)+Qsin(ω0​t)因此，频谱也是对应地叠加。（向量相加）

那么，我们只需要将这两个频谱叠加（类似于向量的合成），那么我们就可以得到调制信号的频谱了

【这里还需要特别说明一个问题】：大家现在要记得QPSK的映射关系：

那么，对于上面的程序，当输入10时，由于我们在和载波 s i n ( ω 0 t ) sin(ω_0t) sin(ω0​t)相乘时还需要对Q路信号乘上一个负号，因此，当Q路信号是负数时，相当于一个正的脉冲和 s i n ( ω 0 t ) sin(ω_0t) sin(ω0​t)，那么问题来了：我们解调的时候，如果接收端Q路信号乘以的本地载波是 s i n ( ω 0 t ) sin(ω_0t) sin(ω0​t)，那么此时解调出来的应该是-Q！！

这个问题我们一会儿会遇到。

我们从BPSK解调入手，还记得我们在之前的博文中从时域上分析BPSK解调吗： 对接收到的 s ( t ) = x ( t ) c o s ω 0 t s(t) = x(t)cosω_0t s(t)=x(t)cosω0​t，我们对它再乘以个本地载波 c o s ω 0 t cosω_0t cosω0​t，然后通过一个周期内积分再乘以2就可以解调出信号，那么，用低通滤波器的方法是什么原理呢？

这是 x ( t ) x(t) x(t)经过BPSK调制，乘上了载波信号之后，在解调端再乘上了本地余弦信号之后的结果，仅仅靠乘上 c o s ω 0 t cosω_0t cosω0​t，似乎还并不能分离出 x ( t ) x(t) x(t)，而低通滤波器，就可以把高频成分滤去，只留下 x ( t ) x(t) x(t)。

因此，调制解调的原理如下：

其中，我们使用的低通滤波器的内部结构如下图所示：

还是以发送信号10为例： 我们把 s ( t ) s(t) s(t)分别在接收端乘以 c o s ( ω 0 t ) cos(ω_0t) cos(ω0​t)和 s i n ( ω 0 t ) sin(ω_0t) sin(ω0​t)，我们来看看解调结果：

我们还是来回顾一下发送信号10时， s ( t ) s(t) s(t)的频谱：

对这个 s ( t ) s(t) s(t)信号再乘上 c o s ( ω 0 t ) cos(ω_0t) cos(ω0​t)，我们可以这样理解，把上图这两个蓝色分量分别乘上 c o s ( ω 0 t ) cos(ω_0t) cos(ω0​t)，然后进行向量合成，最后效果应该是这样：

然后，将这个信号经过傅里叶变换得到上面这个频谱，经过低通滤波器就可以得到+I信号了 下面我们来看看 s ( t ) s(t) s(t)乘上 s i n ( ω 0 t ) sin(ω_0t) sin(ω0​t)的结果：

我们最后得到的频谱是：

再经过低通滤波器滤去高频分量，就可以得到-Q信号了。最后再取个负，我们就正式完成了I, Q的解调了！