2023高考真题知识总结方法总结题型突破：44 导数中的函数零点问题(学生版)

已知函数

1

(

)

(

1)ln

f

x

ax

a

x

x









．

(1)

当

0

a



时，求

(

)

f

x

的最大值；

(2)

若

(

)

f

x

恰有一个零点，求

a

的取值范围．

2

．

(2022·

全国乙理

) 

已知函数









ln

1

e

x

f

x

x

ax









(1)

当

1

a



时，求曲线





y

f

x



在点









0,

0

f

处的切线方程；

(2)

若





f

x

在区间









1,

 0

,

0,







各恰有一个零点，求

a

的取值范围．

3

．

(2022·

新高考

Ⅰ)

已知函数

(

)

x

f

x

e

ax





和

(

)

ln

g

x

ax

x





有相同的最小值．

(1)

求

a

；

(2)

证明：

存在直线

y

b



，

其与两条曲线

(

)

y

f

x



和

(

)

y

g

x



共有三个不同的交点，

并且从左到右的三个

交点的横坐标成等差数列．

【方法总结】

1

．

利用导数求函数零点的常用方法

(1)

构造函数

g

(

x

)(

其中

g

′(

x

)

易求，且

g

′(

x

)

＝

0

可解

)

，利用导数研究

g

(

x

)

的性质，结合

g

(

x

)

的图象，判断

函数零点的个数；

(2)

利用零点存在性定理，先判断函数在某区间有零点，再结合图象与性质确定函数零点的个数．

2

．

求解函数零点

(

方程根

)

的个数问题的

3

步骤

第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与

x

轴

(

或直线

y

＝

k

)

在该区间上的交

点问题；

第二步：利用导数研究该函数在该区间上单调性、极值

(

最值

)

、端点值等性质，进而画出其图象；

第三步：结合图象求解．

3

．利用函数零点的情况求参数范围的方法

(1)

分离参数

(

a

＝

g

(

x

))

后，将原问题转化为

y

＝

g

(

x

)

的值域

(

最值

)

问题或转化为直线

y

＝

a

与

y

＝

g

(

x

)

的图

象的交点个数问题

(

优选分离、次选分类

)

求解；

(2)

利用零点的存在性定理构建不等式求解；

(3)

转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．

【题型突破】

1

．

已知函数

f

(

x

)

＝

x

e

x

＋

e

x

．

(1)

求函数

f

(

x

)

的单调区间和极值；

(2)

讨论函数

g

(

x

)

＝

f

(

x

)

－

a

(

a

∈

R

)

的零点的个数．