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设矩阵A为n阶方阵,其伴随矩阵为Adj(A),则A的逆矩阵为: A⁻¹ = (1/|A|) · Adj(A) |A|为A的行列式 Adj(A)为A的伴随矩阵 具体步骤如下: 求出A的行列式|A| 求出A的伴随矩阵 Adj(A) 。伴随矩阵的定义为:对于A的第i行第j列元素,其余元素构成的(n-1)阶子阵列的行列式乘以(-1)^(i+j),即 Adj(A)ij = (-1)^(i+j) · |Aij| 其中,Aij为A中除第i行第j列元素外的其余元素构成的(n-1)阶子阵列。 计算A的逆矩阵A⁻¹。将Adj(A)中的每个元素除以|A|即可。注意:如果A的行列式为0,则A没有逆矩阵。 计算例子1 给定矩阵 A = [2 1; 4 3],求A的逆矩阵。 解:首先计算A的行列式: |A| = 2×3 - 1×4 = 2 然后求A的伴随矩阵: Adj(A) = [3 -1; -4 2] 最后计算A的逆矩阵: A⁻¹ = (1/2) · [3 -1; -4 2] = [3/4 -1/4; -2 1] 因此,矩阵A的逆矩阵为A⁻¹ = [3/4 -1/4; -2 1]。 计算例子2 给定矩阵 B = [1 2 3; 0 1 4; 5 6 0], 求B的逆矩阵。 解:首先计算B的行列式: |B| = 1×(1×0-4×6) - 2×(0×0-5×6) + 3×(0×1-1×5) = -24 然后求B的伴随矩阵: Adj(B) = [-24 -12 18; 20 -15 -6; -2 3 2 ] 最后计算B的逆矩阵: B⁻¹ = (-1/24) · [-24 -12 18; 20 -15 -6; -2 3 2] = [1/4 1/4 -1/8; -5/12 -1/4 1/8; 1/8 1/12 -1/24] 因此,矩阵B的逆矩阵为B⁻¹ = [1/4 1/4 -1/8; -5/12 -1/4 1/8; 1/8 1/12 -1/24]。 |
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