关于Armijo准则和Wolfe准则

以前一直看不懂Armijo准则和Wolfe准则，直到前段时间看完了Boyd的《凸优化》（王书宁 译），Bilibili上有以这本书为教材的视频教程，是中科大 凌青 老师讲的。 看完后才知道以前对Armijo准则有误解，认为它能在任何函数上使用。其实应用Armijo准则是有前提条件的，要求函数是凸函数且函数定义域是凸集。（就是函数形状像一个“锅”。）

Armijo准则用于优化算法中的线搜索子问题。首先任何优化问题都是某个区间（约束）内搜索一个函数的最低点。 《凸优化》里的标准算法是分成三步： 1）先在当前点找一个下降方向dk（梯度下降法用的是负梯度方向，牛顿法用的是牛顿方向） 2）方向确定后再需要确定的是步长alpha_k，这时候由于方向已经确定了，所以相当于用刀在“锅”上沿着dk方向切了一刀，得到一个一维函数。所以这一步就是在这个一维函数上找一个“合适”的步长。这也是线搜索名字的由来。目前线搜索有 精确搜索最优步长方法 和 Armijo准则找次优步长方法。 3）根据方向和步长，更新当前点x(k+1)= x(k) + dk*alpha_k。

Armijo准则和精确搜索最优步长具体哪个更好取决于不同问题。《凸优化》第9章里面有比较，两者迭代次数相差并不大。之所以相差不大，是因为当点x离最优点较远时，x点附近的梯度信息dk其实并不指向最优点“锅底”。dk不准导致alpha_k求得再准也没用。（所以一般情况下用Armijo准则比较多，毕竟它比精确搜索省事）。

ps1：精确步长搜索不准确举例 下图为的f(x1, x2) = x1 * x1 + 4 * x2 * x2的图像： 上图中黑色小点处（坐标(0.5,0.3)）的负梯度为(-1.0, -2.4)。如下图所示： 图中最优步长点并不在x轴上。（若在x轴上，再只需要一步精确步长搜索即可找到最优点。不在x轴上的话，则每步的最优点会反复在x轴两侧震动。这还只是2维的情况，如果维度更高的话，震动情况只会更严重。这也是高维情况精确步长搜索用的少的原因）