二次曲线不变量
![I_{1}=a_{11}+a_{22}, I_{2}=\left| \begin{array}{ll}{a_{11}} & {a_{12}} \\ {a_{12}} & {a_{22}}\end{array}\right|, \quad I_{3}=\left| \begin{array}{lll}{a_{11}} & {a_{12}} & {a_{1}} \\ {a_{12}} & {a_{22}} & {a_{2}} \\ {a_{1}} & {a_{2}} & {a_{0}}\end{array}\right|](https://math.jianshu.com/math?formula=I_%7B1%7D%3Da_%7B11%7D%2Ba_%7B22%7D%2C%20I_%7B2%7D%3D%5Cleft%7C%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bll%7D%7Ba_%7B11%7D%7D%20%26%20%7Ba_%7B12%7D%7D%20%5C%5C%20%7Ba_%7B12%7D%7D%20%26%20%7Ba_%7B22%7D%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright%7C%2C%20%5Cquad%20I_%7B3%7D%3D%5Cleft%7C%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Blll%7D%7Ba_%7B11%7D%7D%20%26%20%7Ba_%7B12%7D%7D%20%26%20%7Ba_%7B1%7D%7D%20%5C%5C%20%7Ba_%7B12%7D%7D%20%26%20%7Ba_%7B22%7D%7D%20%26%20%7Ba_%7B2%7D%7D%20%5C%5C%20%7Ba_%7B1%7D%7D%20%26%20%7Ba_%7B2%7D%7D%20%26%20%7Ba_%7B0%7D%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright%7C)
其中
而 为半不变量
可用来判断二次曲线的形状:
image.png
平面的坐标转化
对于给定坐标系中的二次曲面,我们可以通过坐标变换,使得我们所给平面为 这样只需看 的关系,直接用上述的不变量进行判断即可。
给定平面方程: 当 时 反解得
若 那么
那么新的曲面方程为 由于此时 那么我们只需要考察 之间的关系,使用二维的不变量来判断即可。
一些可能相交情况
椭球面
方程为 那么 为两条虚的相交直线, 为椭圆, 为虚椭圆。
单叶双曲面
当 为椭圆
与 时为双曲线
与 为两条相交的虚直线
与 为抛物线
与 为2条相交直线
双叶双曲面
与 为虚椭圆
与 为椭圆
与 为两条相交的虚直线
为双曲线
为抛物线
为两条平行虚直线
椭圆抛物面
虚椭圆
两条相交虚直线
椭圆
抛物线
双曲抛物面
双曲线
两条相交直线
抛物线
两条重合直线
二次锥面
为椭圆
为双曲线
为两条相交直线
为两条相交虚直线
为抛物线
为两条重合直线
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