离散型随机变量及其常见分布律

证明如下：

首先我们要明确要证明的等式是 当 N → + ∞ N\rightarrow +\infty N→+∞时 P { X = k } = ( k M ) ( n − k N − M ) ( n N ) = ( k n ) p k q n − k P\{X=k\}=\frac{(_k^M)(_{n-k}^{N-M})}{(_n^N)} = (_k^n)p^kq^{n-k} P{X=k}=(nN​)(kM​)(n−kN−M​)​=(kn​)pkqn−k ，即 lim ⁡ n → + ∞ ( k M ) ( n − k N − M ) ( n N ) = ( k n ) p k q n − k \lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\frac{(_k^M)(_{n-k}^{N-M})}{(_n^N)} = (_k^n)p^kq^{n-k} n→+∞lim​(nN​)(kM​)(n−kN−M​)​=(kn​)pkqn−k.

lim ⁡ n → + ∞ ( k M ) ( n − k N − M ) ( n N ) = lim ⁡ n → + ∞ M ! k ! ( M − k ) ! ( N − M ) ! ( n − k ) ! ( N − M − n + k ) ! n ! ( N − n ) ! N ! = lim ⁡ n → + ∞ n ! k ! ( n − k ) ! M ( M − 1 ) ⋯ ( M − k + 1 ) N k ( N − M ) ! ( n − k ) ! ( N − M − n + k ) ! N k N ( N − 1 ) ⋯ ( N − n + 1 ) ( N k 为 构 造 出 来 的 中 间 量 ) n ! k ! ( n − k ) ! = ( k n ) , lim ⁡ n → + ∞ M ( M − 1 ) ⋯ ( M − k + 1 ) N k = lim ⁡ n → + ∞ M N ( M N − 1 N ) ⋯ ( M N − k N + 1 N ) = ( M N ) k , N k N ( N − 1 ) ⋯ ( N − n + 1 ) = N k N ( N − 1 ) ⋯ ( N − k + 1 ) ( N − k ) ( N − k − 1 ) ⋯ ( N − n + 1 ) = 1 1 ⋅ ( 1 − 1 N ) ( 1 − 2 N ) ⋯ ( 1 − k N + 1 N ) ( N − k ) ( N − k − 1 ) ⋯ ( N − n + 1 ) ∴ lim ⁡ n → + ∞ N k N ( N − 1 ) ⋯ ( N − n + 1 ) = lim ⁡ n → + ∞ 1 ( N − k ) ( N − k − 1 ) ⋯ ( N − n + 1 ) , ∴ lim ⁡ n → + ∞ ( k M ) ( n − k N − M ) ( n N ) = lim ⁡ n → + ∞ ( k n ) ( M N ) k ( N − M ) ( N − M − 1 ) ⋯ ( N − M − n + k + 1 ) N n − k N n − k ( N − k ) ( N − k − 1 ) ⋯ ( N − n + 1 ) ( N n − k 为 构 造 出 来 的 中 间 量 ) = lim ⁡ n → + ∞ ( k n ) ( M N ) k [ ( 1 − M N ) ( 1 − M N − 1 N ) ⋯ ( 1 − M N − n − k − 1 N ) ] [ 1 ( 1 − k N ) ( 1 − k + 1 N ) ⋯ ( 1 − n − 1 N ) ] = ( k n ) ( M N ) k ( 1 − M N ) n − k ∴ 命 题 得 证 \begin{aligned} \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{(_k^M)(_{n-k}^{N-M})}{(_n^N)} &= \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{M!}{k!(M-k)!}\frac{(N-M)!}{(n-k)!(N-M-n+k)!}\frac{n!(N-n)!}{N!} \\ &= \lim_{n\rightarrow+\infty} \frac{n!}{k!(n-k)!}\frac{M(M-1)\cdots(M-k+1)}{N^k}\frac{(N-M)!}{(n-k)!(N-M-n+k)!} \frac{N^k}{N(N-1)\cdots(N-n+1)} \quad (N^k 为构造出来的中间量) \\ &\frac{n!}{k!(n-k)!} = (_k^n) ,\\ & \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{M(M-1)\cdots(M-k+1)}{N^k} = \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{M}{N}(\frac{M}{N}-\frac{1}{N})\cdots(\frac{M}{N}-\frac{k}{N}+\frac{1}{N})=(\frac{M}{N})^k,\\ &\frac{N^k}{N(N-1)\cdots(N-n+1)}= \frac{N^k}{N(N-1)\cdots(N-k+1)(N-k)(N-k-1)\cdots(N-n+1)} = \frac{1}{1\cdot(1-\frac{1}{N})(1-\frac{2}{N})\cdots(1-\frac{k}{N}+\frac{1}{N})(N-k)(N-k-1)\cdots(N-n+1)} \\ &\therefore \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{N^k}{N(N-1)\cdots(N-n+1)}= \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{1}{(N-k)(N-k-1)\cdots(N-n+1)},\\ \therefore \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{(_k^M)(_{n-k}^{N-M})}{(_n^N)} &=\lim_{n\rightarrow+\infty}(_k^n)(\frac{M}{N})^k\frac{(N-M)(N-M-1)\cdots(N-M-n+k+1)}{N^{n-k}}\frac{N^{n-k}}{(N-k)(N-k-1)\cdots(N-n+1)} \quad (N^{n-k}为构造出来的中间量) \\ &=\lim_{n\rightarrow+\infty}(_k^n)(\frac{M}{N})^k[(1-\frac{M}{N})(1-\frac{M}{N}-\frac{1}{N})\cdots(1-\frac{M}{N}-\frac{n-k-1}{N})][\frac{1}{(1-\frac{k}{N})(1-\frac{k+1}{N})\cdots(1-\frac{n-1}{N})}] \\ &= (_k^n)(\frac{M}{N})^k(1-\frac{M}{N})^{n-k} \\ \therefore 命题得证 \end{aligned} n→+∞lim​(nN​)(kM​)(n−kN−M​)​∴n→+∞lim​(nN​)(kM​)(n−kN−M​)​∴命题得证​=n→+∞lim​k!(M−k)!M!​(n−k)!(N−M−n+k)!(N−M)!​N!n!(N−n)!​=n→+∞lim​k!(n−k)!n!​NkM(M−1)⋯(M−k+1)​(n−k)!(N−M−n+k)!(N−M)!​N(N−1)⋯(N−n+1)Nk​(Nk为构造出来的中间量)k!(n−k)!n!​=(kn​),n→+∞lim​NkM(M−1)⋯(M−k+1)​=n→+∞lim​NM​(NM​−N1​)⋯(NM​−Nk​+N1​)=(NM​)k,N(N−1)⋯(N−n+1)Nk​=N(N−1)⋯(N−k+1)(N−k)(N−k−1)⋯(N−n+1)Nk​=1⋅(1−N1​)(1−N2​)⋯(1−Nk​+N1​)(N−k)(N−k−1)⋯(N−n+1)1​∴n→+∞lim​N(N−1)⋯(N−n+1)Nk​=n→+∞lim​(N−k)(N−k−1)⋯(N−n+1)1​,=n→+∞lim​(kn​)(NM​)kNn−k(N−M)(N−M−1)⋯(N−M−n+k+1)​(N−k)(N−k−1)⋯(N−n+1)Nn−k​(Nn−k为构造出来的中间量)=n→+∞lim​(kn​)(NM​)k[(1−NM​)(1−NM​−N1​)⋯(1−NM​−Nn−k−1​)][(1−Nk​)(1−Nk+1​)⋯(1−Nn−1​)1​]=(kn​)(NM​)k(1−NM​)n−k​