【Heise法】预备知识4 魔方理论（下篇）

    Heise method是一种相对小众但效率很高的魔方解法，它能在不借助任何公式、不尝试多种可能的情况下，平均在40步内复原三阶魔方（语出Sebastiano Tronto，Fewest Moves Tutorial），其思路对于魔方最少步项目（Fewest Moves Challenge，FMC）特别有借鉴意义，同时也发展出了可应用于速拧的Speed-Heise公式集（作者Matt DiPalma，详见https://www.speedsolving.com/wiki/index.php/Speed-Heise）。

    Heise method作者Ryan Heise的网站（https://www.ryanheise.com/cube）有该法详细文字教程和一些魔方知识（包括转换机、筑块、降群原理等），以及诸多动图（是虚拟魔方播放器，不是gif动图，但本文只能用gif形式截取，因此墙裂建议访问原站，体验更佳）。目前Heise method中文资料较少，网页机翻又词不达意，于是我一面学习，一面便想斗胆做一些翻译和整理。

    本系列专栏中，我将意译Heise method（下称“Heise法”）教程全文，同时夹带私货（算是学习笔记，会用蓝字标注出来的XD）。水平有限，还望魔友们多多指教～

    本节将介绍一些基本的魔方理论（触及魔方的数学本质了）。理解一些魔方的基本性质将帮你判断哪些操作是可行的，哪些是不可能的，并协助你找出“更优雅的”魔方复原方法。

    1. 基本定义（Basic definitions）了解魔方的结构、Orientation和Permutation

    2. 魔方的法则（Laws of the cube）：了解什么是“合法的”操作及其限制

    3. 对称关系（Symmetry）：一些看似不同的情形有着相同的本质

    4. 群论（Group theory）：熟悉魔方的各种子群（Subgroup）及其性质

    5. 循环（Cycles）：了解循环及其应用

    6. 奇偶性（Parity）：了解奇偶性/奇偶校验，以及它可能导致的问题

上一节介绍了1、2、4点，本节继续补完3、5、6点～

    假设有A、B两个魔方，如果魔方B的色块排布可由魔方A整体旋转或镜像变化得到，则称B和A具有对称关系。例如：

    和第一种情况相比，第二个只是换了个面换了个颜色，第三个只是镜像对称，第四个只是进行了z’转体。可见四种情况都可以使用同一个解法，应该把它们视作相同的问题，而非当成四个不同的问题去解（不要单色底，要六色底，完全地颜色中立！）。

    循环是通过色块位置循环实现Permutation的过程。在一个N循环中，P1移到P2的位置，P2移到P3的位置……Pn-1移到Pn的位置，Pn再来到P1的位置。下图是一个棱块三循环：

    本例中，黄色块去了蓝色位置，绿色块去了黄色位置，蓝色块去了绿色位置。显然，三循环每三次为一轮，做三次三循环后所有块都回到它们最初的位置。

    Heise法最后一步通常会用一个三循环复原最后3个角块，这可以借助转换机原理凭直觉实现。

UP主「天方魔」的这个动画可以很好地解释循环和空穴的本质：

这一节涉及上一节“魔方的法则”的内容，可以回去看看：《【Heise法】预备知识3 魔方理论（上篇）》

    对于一个Permutation，它的奇偶性是指它的复原需要经过奇数次或偶数次“两块对换”（与上一节“魔方的法则”中定义的对换方式相同，也就是“每次只拆两个棱块或两个角块下来，对换位置装上，直至魔方复原”）。

规定进行奇数次对换复原的情况为“奇数性”，反之为“偶数性”。

    对于一个可以通过“合法转动”复原的魔方，当把棱块和角块需要的对换次数加合，它一定是偶数，即魔方时刻保持着“偶数性”。但单看棱块或角块，就可能都是奇数或都是偶数，这样才能保持整体的“偶数性”。

    有趣的是，一条转换机总是相当于偶数个棱和偶数个角的对换，因为不论X和Y序列包含奇数还是偶数次对换，X’和Y’序列总会把它*2，变成偶数。这意味着转换机不能直接解决棱角各有奇数次对换的情况。

    在魔方复原初期的筑块过程中，奇偶性一般不是个问题，但在复原即将完成时就不得不考虑。如果棱和角都是“奇数性”的，改为“偶数性”最简单的方法其实是将任意层旋转90度。然而在魔方复原的尾声可不能这么干，我们一般只会用转换机有针对性地影响几个块，因为有太多已经做好的块需要保护。

转换机不改变奇偶性，难道我们只能求助于奇偶校验公式了么？非也。

    在Heise法中，奇偶校验的问题被提前规避了，因为在倒数第二步中所有的棱块都已复原，于是棱块的对换次数为0，是“偶数性”，迫使余下的角块一定也是“偶数性”的。

盲拧彳亍法恰好是一次解决两个块，虽然不是对换而是循环（1次三循环相当于2次对换），但棱和角分别使用的公式个数暗合了上述奇偶性质。因为是使用转换机实现循环，所以不会改变棱角各自的奇偶性。如果不考虑小循环以及各种骚操作，棱或角的循环公式有奇数个，最后就需要奇偶校验。

由此得到一个推论：如果一个魔方经过偶数次90度转动打乱，它一定可以只使用简单的三循环转换机复原。

预备知识部分到此结束，下一节开始正式介绍复原步骤！

    本专栏发表之初曾言：“实际上，一些奇偶校验公式本质上也是转换机，所以Ryan Heise的教程中说‘转换机不改变奇偶性’，还是有所局限的”，并以下图“组空穴”佐证。

    从数学角度看，转换机一定是进行偶数次90度转动，的确不可能改变奇偶性。那么“一些奇偶校验公式本质上也是转换机”这个错误从何而来？R U R':[F' R U R',R']这条转换机所得的情况难道不正是对应Jb Perm的情况，不也显然是3个棱角对的三循环么？

    注意这些奇偶效验公式的最后一步U或U'，它们并不是一般的AUF，而是利用某种转换机实现了顶层各个色块相对位置的复原后，再加的一步90度转动。最终是这一步改变了魔方的奇偶性。所以说这几个奇偶校验公式是“转换机+一步90度转动”。这是我最初没有意识到的。

    再次感谢「天方魔」的指教！