《高等数学》笔记

正项级数的概念：每一项都大于等于0

正项级数的审敛法

①收敛的充要条件：部分和数列 { s n } \{s_n\} {sn​}有界

②（比较审敛法）：

设 ∑ n = 1 ∞ u n \sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n n=1∑∞​un​和 ∑ n = 1 ∞ v n \sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n n=1∑∞​vn​ 都是正项级数，且 u n ≤ v n （ n = 1 , 2 , . . . ） u_n≤v_n（n=1,2,...） un​≤vn​（n=1,2,...）

大的收敛，小的一定收敛：若级数 ∑ n = 1 ∞ v n \sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n n=1∑∞​vn​收敛，则级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n n=1∑∞​un​收敛

小的发散，大的一定发散：若级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n n=1∑∞​un​发散，则级数 ∑ n = 1 ∞ v n \sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n n=1∑∞​vn​发散

推论：如果 ∑ n = 1 ∞ u n \sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n n=1∑∞​un​和 ∑ n = 1 ∞ v n \sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n n=1∑∞​vn​ 都是正项级数

a. 如果 ∑ n = 1 ∞ v n \sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n n=1∑∞​vn​ 收敛，且存在正整数N，使当n≥N时有 u n ≤ k v n ( k > 0 ) u_n≤kv_n(k>0) un​≤kvn​(k>0)成立，那么级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n n=1∑∞​un​收敛

b. 如果 ∑ n = 1 ∞ v n \sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n n=1∑∞​vn​ 发散，且存在正整数N，使当n≥N时有 u n ≥ k v n ( k > 0 ) u_n≥kv_n(k>0) un​≥kvn​(k>0)成立，那么级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n n=1∑∞​un​发散

比较审敛法的极限形式

设有两个正项级数： ∑ n = 1 ∞ u n \sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n n=1∑∞​un​和 ∑ n = 1 ∞ v n \sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n n=1∑∞​vn​，且满足 lim ⁡ n → ∞ u n v n = l \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{u_n}{v_n}=l limn→∞​vn​un​​=l

(1)当 0 < l < ∞ 0