由隐函数确定的曲线，如何求渐近线？

Example 1. 已知 y=y(x)(x>0) 由方程 y^{3}=x\left(x^{2}-2 y\right) 所确定, 且曲线 y=y(x) 有斜渐近线 y=a x+b, 求 a, b 的值.

Solution: 由 x>0 可知, y=ax+b 为 y=y(x) 的 x\to +\infty 方向的斜渐近线, 故

a=\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{y}{x}, b=\lim\limits_{x\to +\infty}y-ax \\

由 y^3=x(x^2-2y) , 两边同除 x^3 可得 \left(\dfrac{y}{x}\right)^3=1-2\dfrac{y}{x^2} ,\\ 两边求极限可得

a^3=\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\dfrac{y}{x}\right)^3=\lim\limits_{x\to +\infty}1-2\dfrac{y}{x^2}=1-2\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{a}{x}=1 \\

即 a^3=1 , 故 a=1. 又 b=\lim\limits_{x\to +\infty}(y-ax)=\lim\limits_{x\to +\infty}(y-x) , 对原方程变形可得

y^3-x^3=-2xy\implies (y-x)(y^2+xy+x^2)=-2xy\implies (y-x)\left(\dfrac{y^2}{x^2}+\dfrac{y}{x}+1\right)=-2\dfrac{y}{x} \\

两边求极限可得

b(a^2+a+1)=\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\dfrac{y^2}{x^2}+\dfrac{y}{x}+1\right)=-2\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{y}{x}=-2a \\

即 3b=-2 , 故 b=-\dfrac{2}{3} .综上, a=1, b=-\dfrac{2}{3} .

Example 2. 求曲线 x^{3}+y^{3}=y^{2} 的斜渐近线方程.

Solution: 由于斜渐近线存在, 故 \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \dfrac{y}{x} 存在, 记为 k.方程两端同时除以 x^{3} 可得, 1+\left(\dfrac{y}{x}\right)^{3}=\left(\dfrac{y}{x}\right)^{2} \cdot \dfrac{1}{x} . 令 x \rightarrow \infty, 可得 1+k^{3}=0. 解得 k=-1.下面考虑 \lim \limits_{x \rightarrow \infty}[y-(-x)], 即 \lim \limits_{x \rightarrow \infty}(y+x).由 x^{3}+y^{3}=y^{2} 可得, x+y=\dfrac{y^{2}}{x^{2}-x y+y^{2}}=\dfrac{\left(\dfrac{y}{x}\right)^{2}}{1-\dfrac{y}{x}+\left(\dfrac{y}{x}\right)^{2}}.

\lim _{x \rightarrow \infty}(y+x)=\lim _{x \rightarrow \infty} \dfrac{\left(\dfrac{y}{x}\right)^{2}}{1-\dfrac{y}{x}+\left(\dfrac{y}{x}\right)^{2}}=\dfrac{1}{1-(-1)+1}=\dfrac{1}{3}. \\

因此, 斜渐近线方程为 y=-x+\dfrac{1}{3}.