【高数】如何由解倒求微分方程？及微分方程的阶数、任意常数、特征根的关系

目录

一、问题

二、概念理解

1. 微分方程的阶数

2. 解、通解与阶数

3. 特征方程、特征根

三、解法

四、解题技巧

五、小结

疑问：除了题目给出的解足够使用代入法外，有时题目会给出一部分特解，或者是给出不足以建立可解方程的解，那么如何用观察法写出其他解，以及如何倒推方程？解决这些方法上的问题，首先要解决下面两个问题。

微分方程的阶数和解中任意常数个数的关系（本质上是解的结构）？与特征根个数的关系？微分方程与特征方程的关系？

指微分方程中，未知函数的最高阶导数的阶数。最高阶是几阶导数，整个方程就是几阶。

解：将某函数及其导数代入微分方程，能使其两端成为恒等式。

通解：解中含有独立任意常数，且其个数与微分方程的阶数相同。几个独立任意常数，就是几阶。

特解：不含有任意常数的解。

n阶常系数线性齐次方程，会有n个线性无关的解，被成为基本解组。

特征方程是为研究相应的数学对象而引入的一些等式，它因数学对象不同而不同，包括数列特征方程、矩阵特征方程、微分方程特征方程、积分方程特征方程等。

做题中发现，特征根的个数（一个几重根就算做几个跟）与微分方程阶数相等，特征方程的形式与常系数线性齐次微分方程相同。（一个经验，有待论证。）

特征根的部分内容可能和线性代数有关，放一些可能可以参考的文章链接，后面学到了重新再想下这部分。本文中特征根统一以 r 表示。

《特征根法》：https://baike.baidu.com/item/%E7%89%B9%E5%BE%81%E6%A0%B9%E6%B3%95/363524?fr=aladdin

《高阶线性微分方程的特征方程怎么来的》：https://www.zhihu.com/question/63107405

这个回答解释了为什么特征值 λ 会存在于方程的解中，即 e^λx 结构（其实我还没太理解）。

《【高数】求这个微分方程的特解 三阶的求解》：https://zhidao.baidu.com/question/1309136118014229259.html?fr=iks&word=%C8%FD%BD%D7%CE%A2%B7%D6%B7%BD%B3%CC%CC%D8%D5%F7%B7%BD%B3%CC&ie=gbk

不用掌握三阶的解的求法，只用体会特征方程和微分方程的关系，即已知特征根如何写出微分方程。

从针对某一类型的微分方程，讲到适用范围较广的方法。大致分为以下几类，分类方法在做题及看文章中归纳出的，可能也不完备。末尾放两篇文章，总结得很好，互为补充。

1. 常系数（任意阶）线性齐次→倒推法

由通解或特解，得到特征根 r ，可由 r 的方程得微分方程。

《微分方程的解如何得到特征值》：https://zhidao.baidu.com/question/1452843477123266460.html?qbl=relate_question_4

一道例题，过程讲解很详细！

2. n阶线性齐次→行列式法

3. 已知形式的二阶线性非齐次→特解代入法

（1）形式 y'' + p(x) y' + q(x) y = f(x)，已知两线性无关特解y1*，y2*

特解代入，求出 p(x)、q(x)，回代方程。

（2）常系数，已知f(x)形式和一特解 y*，如 y'' + α y' + β = γ e^x

特解代入，求出常数α、β、γ，回代方程。

4. 知通解但未必线性→消C法

（1）一个任意常数C，则是一阶方程：

通解 y=...，求导 y' =...，联立方程组，消去C（用 y' 求出C后代入 y=...），得一阶方程。

（2）两个任意常数C1、C2，则是二阶方程：

通解 y=...，求导 y'=...，y''=...，用y'、y'' 求出C1、C2，代入 y=...，得二阶方程。

注：若不知通解，只知两线性无关特解y1*、y2*，则可写出通解 y=y1*+y2*再做。

5. 常系数线性非齐次→综合法

先由倒推法、消C法等，求对应齐次方程的常系数。再将特解代入设定的对应非齐次方程，求出f(x)。

这两篇写的例题都很好！强烈推荐！部分细节困惑的地方，在上面两张手写图片中有我的思考，可以看下。

《利用二阶线性微分方程的解求其方程的方法》：https://www.doc88.com/p-0071587835146.html

《探讨由线性齐次微分方程的解求其微分方程》：http://www.doc88.com/p-3147525854300.html

1. 已知二阶微分方程的一特征根为 r1=3+2i 时，如何求另一根？

共轭虚根（共轭复根）总是成对存在的，所以已知有一复数根，就可写出另一个是 r2=3-2i。

2. 已知二阶方程两复数特征根，如何求方程？

1. 到底几阶？最高阶是几阶导，方程就是几阶。通解中几个独立任意常数，就是几阶。特解不含任意常数。

2. 做题发现，特征根个数（一个几重根就算做几个跟）与微分方程阶数相等，特征方程的形式与常系数线性齐次微分方程相同。

3. 解法（做题中常用的是倒推、特解代入、消C）

4. 共轭虚根成对出现，求其方程直接乘，或韦达定理。