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一.反三角函数1.1反正弦函数1.2反余弦函数1.3反正切函数1.4反余切函数
二.反函数
一.反三角函数
1.1反正弦函数
正弦函数 y = sin x y=\sin x y=sinx \quad ( x ∈ [ − π 2 , π 2 ] x\in[-\frac{π}{2},\frac{π}{2}] x∈[−2π,2π])的反函数叫反正弦函数 记作 y = arcsin x y=\arcsin x y=arcsinx, ( x ∈ [ − 1 , 1 ] x\in[-1,1] x∈[−1,1], y ∈ [ − π 2 , π 2 ] y\in[-\frac{π}{2},\frac{π}{2}] y∈[−2π,2π]) 或 y = sin y=\sin y=sin-1 x x x 注意区分: ( sin x ) (\sin x) (sinx)-1= 1 sin x \frac{1}{\sin x} sinx1 \quad sin \sin sin-1 x x x = arcsin x \arcsin x arcsinx 当 x ∈ [ − 1 , 1 ] x\in[-1,1] x∈[−1,1] 时, \quad arcsin ( − x ) = − arcsin x \arcsin(-x)=-\arcsin x arcsin(−x)=−arcsinx 当 x ∈ [ − π 2 , π 2 ] x\in[-\frac{π}{2},\frac{π}{2}] x∈[−2π,2π]时, \quad arcsin ( sin x ) = x \arcsin(\sin x)=x arcsin(sinx)=x 当 x ∈ [ − 1 , 1 ] x\in[-1,1] x∈[−1,1]时, \quad \quad sin ( arcsin x ) = x \sin(\arcsin x)=x sin(arcsinx)=x \quad \quad 1.2反余弦函数正弦函数 y = cos x y=\cos x y=cosx \quad ( x ∈ [ 0 , π ] x\in[0,π] x∈[0,π])的反函数叫反余弦函数 记作 y = arccos x y=\arccos x y=arccosx, ( x ∈ [ − 1 , 1 ] x\in[-1,1] x∈[−1,1], y ∈ [ 0 , π ] y\in[0,π] y∈[0,π]) 或 y = cos y=\cos y=cos-1 x x x
当 x ∈ [ − 1 , 1 ] x\in[-1,1] x∈[−1,1]时, \quad cos \cos cos-1(-x) = π − cos =π-\cos =π−cos-1x 当 x ∈ [ 0 , π ] x\in[0,π] x∈[0,π] 时, \quad cos \cos cos-1 ( cos x ) = x (\cos x)=x (cosx)=x 当 x ∈ [ − 1 , 1 ] x\in[-1,1] x∈[−1,1]时, \quad cos \cos cos( cos \cos cos-1 x x x) = x =x =x 当 x ∈ [ − 1 , 1 ] x\in[-1,1] x∈[−1,1]时, \quad sin \sin sin( cos \cos cos-1 x x x) = 1 − x 2 \sqrt{1-x^2} 1−x2 最后一个公式的证明过程 令 y= cos \cos cos-1 x x x \quad x ∈ [ 0 , π ] x\in[0,π] x∈[0,π] sin \sin sin( cos \cos cos-1 x x x) = sin y \sin y siny = 1 − cos 2 y \sqrt{1-\cos^2y} 1−cos2y = 1 − x 2 \sqrt{1-x^2} 1−x2 \quad \quad 1.3反正切函数正切函数 y = tan x y=\tan x y=tanx \quad ( x ∈ [ − π 2 , π 2 ] x\in[-\frac{π}{2},\frac{π}{2}] x∈[−2π,2π])的反函数叫反正切函数 记作 y = arctan x y=\arctan x y=arctanx, ( x ∈ R x\in R x∈R, y ∈ [ − π 2 , π 2 ] y\in[-\frac{π}{2},\frac{π}{2}] y∈[−2π,2π]) 或 y = tan y=\tan y=tan-1 x x x 当 x ∈ ( − ∞ , ∞ ) x\in(-\infty,\infty) x∈(−∞,∞)时, \quad arctan ( − x ) = − arctan x \arctan(-x)=-\arctan x arctan(−x)=−arctanx 当 x ∈ ( − π 2 , π 2 ) x\in(-\frac{π}{2},\frac{π}{2}) x∈(−2π,2π)时, \quad arctan ( tan x ) = x \arctan(\tan x)=x arctan(tanx)=x 当 x ∈ ( − ∞ , ∞ ) x\in(-\infty,\infty) x∈(−∞,∞)时, \quad tan ( arctan x ) = x \tan(\arctan x)=x tan(arctanx)=x \quad \quad 1.4反余切函数余切函数
y
=
cot
x
y=\cot x
y=cotx
\quad
(
x
∈
[
0
,
π
]
x\in[0,π]
x∈[0,π])的反函数叫反余切函数 记作
y
=
cot
y=\cot
y=cot-1x, (
x
∈
R
x\in R
x∈R,
y
∈
[
0
,
π
]
y\in[0,π]
y∈[0,π]) 当 x ∈ ( − ∞ , ∞ ) x\in(-\infty,\infty) x∈(−∞,∞)时, \quad cot \cot cot-1(-x) = π- cot \cot cot-1x 当 x ∈ ( 0 , π ) x\in(0,π) x∈(0,π)时, \quad \quad \quad cot \cot cot-1( cot x \cot x cotx) = x x x 当 x ∈ ( − ∞ , ∞ ) x\in(-\infty,\infty) x∈(−∞,∞)时, \quad cot \cot cot( cot \cot cot-1 x x x) = x x x 当 x ∈ ( − ∞ , 0 ) x\in(-\infty,0) x∈(−∞,0) ∪ \cup ∪(0, ∞ \infty ∞)时, \quad tan ( cot \tan(\cot tan(cot-1 x x x) = 1 x \frac{1}{x} x1, \quad cot ( tan \cot(\tan cot(tan-1 x x x) = 1 x \frac{1}{x} x1 当 x ∈ ( − ∞ , ∞ ) x\in(-\infty,\infty) x∈(−∞,∞)时, \quad tan \tan tan-1 x x x + cot \cot cot-1 x x x = π 2 \frac{π}{2} 2π 补充 tan \tan tan-1 x x x + cot \cot cot-1 x x x = π 2 \frac{π}{2} 2π sin \sin sin-1 x x x + cos \cos cos-1 x x x = π 2 \frac{π}{2} 2π \quad \quad 二.反函数原函数 \quad 对应 \quad 反函数 y=f(x) \quad \quad \quad \quad \quad y=f-1(x) x \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad y y \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad x 定义域 \quad \quad \quad \quad \quad 值域 值域 \quad \quad \quad \quad \quad 定义域 图像关于y=x轴对称,原函数与反函数单调性同增同减 求解反函数的方法 (1)把y当作常数, 将函数看作是一个方程, 求出变量x (2)把x和y对调 \quad \quad 例题1: (1) arcsin ( − 1 ) \arcsin(-1) arcsin(−1) ∵ \because ∵-1 ∈ \in ∈[-1,1] sin ( − π 2 ) \sin(-\frac{π}{2}) sin(−2π)=-1 ∴ \therefore ∴ arcsin ( − 1 ) \arcsin(-1) arcsin(−1) = − π 2 -\frac{π}{2} −2π (2) arcsin ( − 3 2 ) \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) arcsin(−23 ) ∵ \because ∵ − 3 2 -\frac{\sqrt{3}}{2} −23 ∈ \in ∈[-1,1] sin ( − π 3 ) \sin(-\frac{π}{3}) sin(−3π)= − 3 2 -\frac{\sqrt{3}}{2} −23 ∴ \therefore ∴ arcsin ( − 3 2 ) \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) arcsin(−23 ) = − π 3 -\frac{π}{3} −3π (3) arccos ( 2 2 ) \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) arccos(22 ) ∵ \because ∵ 2 2 \frac{\sqrt{2}}{2} 22 ∈ \in ∈[-1,1] cos ( π 4 ) = 2 2 \cos(\frac{π}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2} cos(4π)=22 ∴ \therefore ∴ arccos ( 2 2 ) \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) arccos(22 ) = π 4 \frac{π}{4} 4π (4) arccos 0 \arccos0 arccos0 ∵ \because ∵ 0 ∈ \in ∈[-1,1] cos ( π 2 ) = 0 \cos(\frac{π}{2})=0 cos(2π)=0 ∴ \therefore ∴ arccos ( 0 ) \arccos(0) arccos(0) = π 2 \frac{π}{2} 2π (5) arctan 3 3 \arctan\frac{\sqrt{3}}{3} arctan33 ∵ \because ∵ 3 3 \frac{\sqrt{3}}{3} 33 ∈ \in ∈ ( − ∞ , ∞ ) (-\infty,\infty) (−∞,∞) tan π 6 \tan\frac{π}{6} tan6π = 3 3 \frac{\sqrt{3}}{3} 33 ∴ \therefore ∴ arctan 3 3 \arctan\frac{\sqrt{3}}{3} arctan33 = π 6 \frac{π}{6} 6π \quad \quad 例题2: (1) sin [ arcsin ( − 1 2 ) ] \sin[\arcsin(-\frac{1}{2})] sin[arcsin(−21)] − 1 2 -\frac{1}{2} −21 (2) arccos ( cos 11 π 6 ) \arccos(\cos\frac{11π}{6}) arccos(cos611π) cos 11 π 6 \cos\frac{11π}{6} cos611π = cos ( − π 6 ) \cos(-\frac{π}{6}) cos(−6π) = cos ( π 6 ) \cos(\frac{π}{6}) cos(6π) = 3 2 \frac{\sqrt{3}}{2} 23 ∴ \therefore ∴ arccos ( 3 2 ) \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) arccos(23 ) = π 6 \frac{π}{6} 6π \quad \quad 例题3: 求下列函数的反函数 方法: 先求出自变量为y的方程, 再把x和y互换 (1) y = x − 1 x + 1 y=\frac{x-1}{x+1} y=x+1x−1 => y ( x + 1 ) = x − 1 y(x+1)=x-1 y(x+1)=x−1 => y x + y = x − 1 yx+y=x-1 yx+y=x−1 => y x − x = − y − 1 yx-x=-y-1 yx−x=−y−1 => x ( y − 1 ) = − y − 1 x(y-1)=-y-1 x(y−1)=−y−1 => x = − y − 1 y − 1 x=\frac{-y-1}{y-1} x=y−1−y−1 整理(上下同乘-1) => x = 1 + y 1 − y x=\frac{1+y}{1-y} x=1−y1+y => y = 1 + x 1 − x y=\frac{1+x}{1-x} y=1−x1+x (2) y = e y=e y=e2x => ln y = 2 x \ln y=2x lny=2x => x = ln y 2 x=\frac{\ln y}{2} x=2lny => y = ln x 2 y=\frac{\ln x}{2} y=2lnx (3) y = ln ( x + x 2 + 1 ) y=\ln(x+\sqrt{x^2+1}) y=ln(x+x2+1 ) => e y = x + x 2 + 1 e^y=x+\sqrt{x^2+1} ey=x+x2+1 => e y − x = x 2 + 1 e^y-x=\sqrt{x^2+1} ey−x=x2+1 => e2y+ x 2 − 2 x e y = x 2 + 1 x^2-2xe^y=x^2+1 x2−2xey=x2+1 => e2y − 2 x e y = 1 -2xe^y=1 −2xey=1 => e y ( e y − 2 x ) = 1 e^y(e^y-2x)=1 ey(ey−2x)=1 => e y − 2 x = 1 e y e^y-2x=\frac{1}{e^y} ey−2x=ey1 => x = e y − 1 e y 2 x=\frac{e^y-\frac{1}{e^y}}{2} x=2ey−ey1 (4) y = sin 3 x y=\sin3x y=sin3x => 3 x = arcsin y 3x=\arcsin y 3x=arcsiny => x = 1 3 arcsin y x=\frac{1}{3}\arcsin y x=31arcsiny => y = 1 3 arcsin x y=\frac{1}{3}\arcsin x y=31arcsinx (5) y = arcsin 3 x y=\arcsin3x y=arcsin3x => 3 x = sin y 3x=\sin y 3x=siny => x = sin y 3 x=\frac{\sin y}{3} x=3siny => y = 1 3 sin x y=\frac{1}{3}\sin x y=31sinx |
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