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【课后习题】高等数学第七版上第二章 导数与微分 第五节 函数的微分
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习题2-5
1. 已知
y
=
x
3
−
x
y=x^3-x
y=x3−x, 计算在
x
=
2
x=2
x=2 处当
Δ
x
\Delta x
Δx 分别等于
1
,
0.1
,
0.01
1,0.1,0.01
1,0.1,0.01 时的
Δ
y
\Delta y
Δy 及
d
y
\mathrm{d} y
dy.
解：
(1) y = 1 x + 2 x y=\frac{1}{x}+2 \sqrt{x} y=x1+2x (2) y = x sin 2 x y=x \sin 2 x y=xsin2x; (3) y = x x 2 + 1 y=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} y=x2+1 x (4) y = ln 2 ( 1 − x ) y=\ln ^2(1-x) y=ln2(1−x) (5) y = x 2 e 2 x y=x^2 \mathrm{e}^{2 x} y=x2e2x;
(6) y = e − x cos ( 3 − x ) y=\mathrm{e}^{-x} \cos (3-x) y=e−xcos(3−x); (7) y = arcsin 1 − x 2 y=\arcsin \sqrt{1-x^2} y=arcsin1−x2 ;
(8) y = tan 2 ( 1 + 2 x 2 ) y=\tan ^2\left(1+2 x^2\right) y=tan2(1+2x2); (9) y = arctan 1 − x 2 1 + x 2 y=\arctan \frac{1-x^2}{1+x^2} y=arctan1+x21−x2; (10) s = A sin ( ω t + φ ) （ A 、 ω 、 φ s=A \sin (\omega t+\varphi) （ A 、 \omega 、 \varphi s=Asin(ωt+φ)（A、ω、φ 是常数) .
(1) d ( ) = 2 d x \mathrm{d}(\quad)=2 \mathrm{~d} x d()=2 dx; (2) d ( ) = 3 x d x \mathrm{d}(\quad)=3 x \mathrm{~d} x d()=3x dx; (3) d ( ) = cos t d t \mathrm{d}(\quad)=\cos t \mathrm{~d} t d()=cost dt; (4) d ( ) = sin ω x d x ( ω ≠ 0 ) \mathrm{d}(\quad)=\sin \omega x \mathrm{~d} x \quad(\omega \neq 0) d()=sinωx dx(ω=0); (5) d ( ) = 1 1 + x d x \mathrm{d}(\quad)=\frac{1}{1+x} \mathrm{~d} x d()=1+x1 dx (6) d ( ) = e − 2 x d x \mathrm{d}(\quad)=\mathrm{e}^{-2 x} \mathrm{~d} x d()=e−2x dx; (7) d ( ) = 1 x d x \mathrm{d}(\quad)=\frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x d()=x 1 dx; (8) d ( ) = sec 2 3 x d x \mathrm{d}(\quad)=\sec ^2 3 x \mathrm{~d} x d()=sec23x dx
s = 2 l ( 1 + 2 f 2 3 l 2 ) , s=2 l\left(1+\frac{2 f^2}{3 l^2}\right) \text {, } s=2l(1+3l22f2), 当 f f f 变化了 Δ f \Delta f Δf 时, 电缆长的变化约为多少?
如果 R R R 不变, α \alpha α 减少 3 0 ′ 30^{\prime} 30′, 问扇形面积大约改变了 多少? 又如果 α \alpha α 不变, R R R 增加 1 c m 1 \mathrm{~cm} 1 cm, 问扇形面积大约改变 了多少?
(1) cos 2 9 ∘ \cos 29^{\circ} cos29∘; (2) tan 13 6 ∘ \tan 136^{\circ} tan136∘.
(1) arcsin 0.5002 \arcsin 0.5002 arcsin0.5002; (2) arccos 0.4995 \arccos 0.4995 arccos0.4995.
(1) tan x ≈ x ( x \tan x \approx x(x tanx≈x(x 是角的弧度值); (2) ln ( 1 + x ) ≈ x \ln (1+x) \approx x ln(1+x)≈x; (3) 1 + x n ≈ 1 + 1 n x \sqrt[n]{1+x} \approx 1+\frac{1}{n} x n1+x ≈1+n1x; (4) e x ≈ 1 + x \mathrm{e}^x \approx 1+x ex≈1+x. 并计算 tan 4 5 ′ \tan 45^{\prime} tan45′ 和 ln 1.002 \ln 1.002 ln1.002 的近似值.
(1) 996 3 \sqrt[3]{996} 3996 ; (2) 65 6 \sqrt[6]{65} 665 .
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