《高等数学》学习笔记二：导数与微分（持续更新）

前置内容：高中数学选修2-2学习笔记； 《高等数学》学习笔记一：函数与极限

假设函数 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 x_0 x0​的某邻域内有定义。取增量 Δ x \Delta x Δx（ x + Δ x x+\Delta x x+Δx在邻域内），则 Δ y = f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) \Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0) Δy=f(x0​+Δx)−f(x0​)。 如果 lim ⁡ Δ x → 0 Δ y Δ x \lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} Δx→0lim​ΔxΔy​存在，那么我们称 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 x_0 x0​可导，把这个极限值称为 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 x_0 x0​处的导数，记为 f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f′(x0​)，或 y ′ ∣ x = x 0 y'|_{x=x_0} y′∣x=x0​​，或 d y d x ∣ x = x 0 \frac{dy}{dx}|_{x=x_0} dxdy​∣x=x0​​。 这个极限同样可以表示为 lim ⁡ h → 0 f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) h \lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} h→0lim​hf(x0​+h)−f(x0​)​，或 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 \lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} x→x0​lim​x−x0​f(x)−f(x0​)​。

类似于左极限、右极限，单侧导数就是从某侧逼近的导数。 左导数： f − ′ ( x 0 ) = lim ⁡ h → 0 − f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) h = lim ⁡ x → x 0 − f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 f_-'(x_0)=\lim\limits_{h\to 0^-}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\lim\limits_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} f−′​(x0​)=h→0−lim​hf(x0​+h)−f(x0​)​=x→x0−​lim​x−x0​f(x)−f(x0​)​ 右导数： f + ′ ( x 0 ) = lim ⁡ h → 0 + f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) h = lim ⁡ x → x 0 + f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 f_+'(x_0)=\lim\limits_{h\to 0^+}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\lim\limits_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} f+′​(x0​)=h→0+lim​hf(x0​+h)−f(x0​)​=x→x0+​lim​x−x0​f(x)−f(x0​)​ 比如 f ( x ) = ∣ x ∣ f(x)=|x| f(x)=∣x∣，则左导数 f − ′ ( 0 ) = − 1 f_-'(0)=-1 f−′​(0)=−1，右导数 f + ′ ( 0 ) = 1 f_+'(0)=1 f+′​(0)=1。导数 f ′ ( 0 ) f'(0) f′(0)不存在。 f ( x ) f(x) f(x)在某点可导，等价于左右导数都存在且相等。

注意：导数的严格写法是 d d x y \frac{d}{dx}y dxd​y， d y d x \frac{dy}{dx} dxdy​是简便写法，有时不能看成 d y dy dy与 d x dx dx的商（有时可以）。

可导相当于光滑，剩下的见选修2-2学习笔记（

连续就是 lim ⁡ Δ x → 0 Δ y → 0 \lim\limits_{\Delta x\to 0}\Delta y\to 0 Δx→0lim​Δy→0，可导就是 lim ⁡ Δ x → 0 Δ y Δ x \lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} Δx→0lim​ΔxΔy​存在。 如果函数可导，那么 Δ y Δ x \frac{\Delta y}{\Delta x} ΔxΔy​不为无穷大，而 Δ x \Delta x Δx又趋于0，那 Δ y \Delta y Δy只能趋于0。所以可导一定连续。 如果函数连续，只能说明 Δ x → 0 \Delta x\to 0 Δx→0时， Δ y → 0 \Delta y\to 0 Δy→0，但无法说明 Δ y Δ x \frac{\Delta y}{\Delta x} ΔxΔy​是否为无穷，也无法说明极限值一定存在。因此连续不一定可导。

以下是选修2-2笔记中已证明的公式（补充： ( tan ⁡ x ) ′ = 1 cos ⁡ 2 x (\tan x)'=\frac{1}{\cos^2x} (tanx)′=cos2x1​） 以下是学习笔记一中提到的公式： ( arcsin ⁡ x ) ′ = 1 1 − x 2 (\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} (arcsinx)′=1−x2 ​1​； ( arccos ⁡ x ) ′ = − 1 1 − x 2 (\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} (arccosx)′=−1−x2 ​1​； ( arctan ⁡ x ) ′ = 1 1 + x 2 (\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2} (arctanx)′=1+x21​

见选修2-2学刁笔记（

显函数是指能表示为 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)的函数，隐函数是能表示为 F ( x , y ) = 0 F(x,y)=0 F(x,y)=0的函数。 例如， y = x 2 − 2 x + 3 y=x^2-2x+3 y=x2−2x+3是显函数， e y + x y + 114 x + 514 = 0 e^y+xy+114x+514=0 ey+xy+114x+514=0是隐函数。 隐函数无法把 y y y都挪到一边再求导，但我们可以通过两边求导间接得到 y ′ y' y′。

魔法：对 x x x求导，相当于补上一个 d d x \frac{d}{dx} dxd​。（d表示变化量，d/dx表示变化量与x变化量的比值，也就是导数） 显然，等式两边对 x x x求导之后仍然是相等的。因此我们可以运用魔法对 e y + x y + 114 x + 514 = 0 e^y+xy+114x+514=0 ey+xy+114x+514=0求导： d ( e y ) d x + d ( x y ) d x + 114 = 0 \frac{d(e^y)}{dx}+\frac{d(xy)}{dx}+114=0 dxd(ey)​+dxd(xy)​+114=0。 第一项可以变为 d ( e y ) d y ∗ d y d x \frac{d(e^y)}{dy}*\frac{dy}{dx} dyd(ey)​∗dxdy​，第二项就是一个乘法求导。因此化简为： e y ∗ y ′ + ( y + x y ′ ) + 114 = 0 e^y*y'+(y+xy')+114=0 ey∗y′+(y+xy′)+114=0 合并同类项： ( e y + x ) y ′ = − 114 − y (e^y+x)y'=-114-y (ey+x)y′=−114−y，那么 y ′ = − 114 − y e y + x y'=\frac{-114-y}{e^y+x} y′=ey+x−114−y​。

第一项的求导方式也可以看成复合函数求导，把第一项看成 e y e^y ey和 y y y对 x x x的函数的复合函数，那么求导就是两个导数相乘，即 e y ∗ y ′ e^y*y' ey∗y′。

同样的方式，我们可以对 y 5 + 2 y − x − 3 x 7 = 0 y^5+2y-x-3x^7=0 y5+2y−x−3x7=0求导： 5 y 4 y ′ + 2 y ′ − 1 − 21 x 6 = 0 5y^4y'+2y'-1-21x^6=0 5y4y′+2y′−1−21x6=0，则 ( 5 y 4 + 2 ) y ′ = 21 x 6 + 1 (5y^4+2)y'=21x^6+1 (5y4+2)y′=21x6+1，因此 y ′ = 21 x 6 + 1 5 y 4 + 2 y'=\frac{21x^6+1}{5y^4+2} y′=5y4+221x6+1​。

x 2 16 + y 2 9 = 1 \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1 16x2​+9y2​=1，两边求导： x 8 + 2 y ∗ y ′ 9 = 0 \frac{x}{8}+\frac{2y*y'}{9}=0 8x​+92y∗y′​=0，得到 y ′ = − 9 x 16 y y'=-\frac{9x}{16y} y′=−16y9x​

y = x sin ⁡ x y=x^{\sin x} y=xsinx，变形为 ln ⁡ y = sin ⁡ x ln ⁡ x \ln y=\sin x\ln x lny=sinxlnx，两边求导： y ′ y = cos ⁡ x ln ⁡ x + sin ⁡ x x \frac{y'}{y}=\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x} yy′​=cosxlnx+xsinx​，则 y ′ = y ( cos ⁡ x ln ⁡ x + sin ⁡ x x ) = x sin ⁡ x ( cos ⁡ x ln ⁡ x + sin ⁡ x x ) y'=y(\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x})=x^{\sin x}(\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x}) y′=y(cosxlnx+xsinx​)=xsinx(cosxlnx+xsinx​)

y = ( x − 1 ) ( x − 2 ) ( x − 3 ) ( x − 4 ) y=\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}} y=(x−3)(x−4)(x−1)(x−2)​ ​，平方得 y 2 = ∣ ( x − 1 ) ( x − 2 ) ( x − 3 ) ( x − 4 ) ∣ = ∣ x − 1 ∣ ∣ x − 2 ∣ ∣ x − 3 ∣ ∣ x − 4 ∣ y^2=|\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}|=\frac{|x-1||x-2|}{|x-3||x-4|} y2=∣(x−3)(x−4)(x−1)(x−2)​∣=∣x−3∣∣x−4∣∣x−1∣∣x−2∣​，取对数得 2 ln ⁡ y = ln ⁡ ∣ x − 1 ∣ + ln ⁡ ∣ x − 2 ∣ − ln ⁡ ∣ x − 3 ∣ − ln ⁡ ∣ x − 4 ∣ 2\ln y=\ln|x-1|+\ln|x-2|-\ln|x-3|-\ln|x-4| 2lny=ln∣x−1∣+ln∣x−2∣−ln∣x−3∣−ln∣x−4∣。 两边求导： 2 y ′ y = 1 ∣ x − 1 ∣ + 1 ∣ x − 2 ∣ − 1 ∣ x − 3 ∣ − 1 ∣ x − 4 ∣ \frac{2y'}{y}=\frac{1}{|x-1|}+\frac{1}{|x-2|}-\frac{1}{|x-3|}-\frac{1}{|x-4|} y2y′​=∣x−1∣1​+∣x−2∣1​−∣x−3∣1​−∣x−4∣1​，由此推出 y ′ y' y′。

求导时，求的其实是 d y d x \frac{dy}{dx} dxdy​。参数方程中，已知的只有 x x x和 y y y分别与 t t t的关系，难以直接求 d y d x \frac{dy}{dx} dxdy​。 因此我们可以用 d y d x = d y / d t d x / d t \large\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt} dxdy​=dx/dtdy/dt​的方式，先求 y y y对 t t t的导数，再求 x x x对 t t t的导数，再取比值。 举例： { x = t + 1 y = t 2       \left\{ \begin{aligned} x=t+1 \\ y=t^2\ \ \ \ \ \end{aligned} \right. {x=t+1y=t2     ​ 那么 d y d x = d y / d t d x / d t = 2 t 1 = 2 t \frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{2t}{1}=2t dxdy​=dx/dtdy/dt​=12t​=2t，即 y ′ = 2 t y'=2t y′=2t。 验证：这个参数方程其实就是 y = ( x − 1 ) 2 y=(x-1)^2 y=(x−1)2，求导得 y ′ = 2 ( x − 1 ) y'=2(x-1) y′=2(x−1)。由于 x − 1 = t x-1=t x−1=t，所以两种求导方式得出的结果相同。

如果想求更高阶导，方式是相同的，不断让分式上下同时对 t t t求导。 举例： { x = e t cos ⁡ t y = e t sin ⁡ t \left\{ \begin{aligned} x=e^t\cos t \\ y=e^t\sin t \end{aligned} \right. {x=etcosty=etsint​ 先求一阶导： d y d x = d y / d t d x / d t = e t sin ⁡ t + e t cos ⁡ t e t cos ⁡ t − e t sin ⁡ t = sin ⁡ t + cos ⁡ t cos ⁡ t − sin ⁡ t \frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{e^t\sin t+e^t\cos t}{e^t\cos t-e^t\sin t}=\frac{\sin t+\cos t}{\cos t-\sin t} dxdy​=dx/dtdy/dt​=etcost−etsintetsint+etcost​=cost−sintsint+cost​。 二阶导： d 2 y d x 2 = d ( d y d x ) d x = d d y d x / d t d x / d t = ( cos ⁡ t − sin ⁡ t ) 2 + ( sin ⁡ t + cos ⁡ t ) 2 ( cos ⁡ t − sin ⁡ t ) 2 e t ( cos ⁡ t − sin ⁡ t ) = 2 ( sin ⁡ 2 t + cos ⁡ 2 t ) e t ( cos ⁡ t − sin ⁡ t ) 3 = 2 e t ( cos ⁡ t − sin ⁡ t ) 3 \frac{d^2y}{dx^2}=\large\frac{d(\frac{dy}{dx})}{dx}=\frac{d\frac{dy}{dx}/dt}{dx/dt}=\frac{\frac{(\cos t-\sin t)^2+(\sin t+\cos t)^2}{(\cos t-\sin t)^2}}{e^t(\cos t-\sin t)}=\frac{2(\sin^2t+\cos^2t)}{e^t(\cos t-\sin t)^3}=\frac{2}{e^t(\cos t-\sin t)^3} dx2d2y​=dxd(dxdy​)​=dx/dtddxdy​/dt​=et(cost−sint)(cost−sint)2(cost−sint)2+(sint+cost)2​​=et(cost−sint)32(sin2t+cos2t)​=et(cost−sint)32​。

假设 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 x_0 x0​的某个去心邻域内有定义。取增量 Δ x \Delta x Δx，记 Δ y = f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) \Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0) Δy=f(x0​+Δx)−f(x0​)。 若 Δ y \Delta y Δy可表示为 A Δ x + o ( Δ x ) A\Delta x+o(\Delta x) AΔx+o(Δx)的形式（ o o o表示高阶无穷小），且 A A A的表示不依赖于 Δ x \Delta x Δx，那么称 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 x_0 x0​可微。 记 d y = A Δ x \mathrm{dy}=A\Delta x dy=AΔx，将其称为 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 x_0 x0​处的微分（又叫线性主部），将 d x = Δ x \mathrm{dx}=\Delta x dx=Δx称为自变量 x x x的微分。 其实 o ( Δ x ) o(\Delta x) o(Δx)对 A Δ x A\Delta x AΔx来说是很小的，因此 d y ∼ Δ y \mathrm{dy}\sim\Delta y dy∼Δy。（ d x → 0 \mathrm{dx}\to 0 dx→0）

下面来看微分和导数的关系：微分是 d y , d x dy,dx dy,dx，导数是 lim ⁡ Δ x → 0 Δ y Δ x \lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} Δx→0lim​ΔxΔy​。 如果某函数可微，那么 Δ y = A Δ x + o ( Δ x ) \Delta y=A\Delta x+o(\Delta x) Δy=AΔx+o(Δx)，则 lim ⁡ Δ x → 0 Δ y Δ x = A + o ( d x ) d x \lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=A+\frac{o(dx)}{dx} Δx→0lim​ΔxΔy​=A+dxo(dx)​，由无穷小的定义 o ( d x ) d x = 0 \frac{o(dx)}{dx}=0 dxo(dx)​=0，故此时函数可导， f ′ ( x 0 ) = A f'(x_0)=A f′(x0​)=A。 如果某函数可导，那么 lim ⁡ Δ x → 0 Δ y Δ x = f ′ ( x 0 ) \lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x_0) Δx→0lim​ΔxΔy​=f′(x0​)。由无穷小性质，此式也可表示为 Δ y = f ′ ( x 0 ) Δ x + α Δ x \Delta y=f'(x_0)\Delta x+\alpha\Delta x Δy=f′(x0​)Δx+αΔx。 而 α Δ x = o ( Δ x ) \alpha\Delta x=o(\Delta x) αΔx=o(Δx)，因此 Δ y = f ′ ( x 0 ) Δ x + o ( Δ x ) \Delta y=f'(x_0)\Delta x+o(\Delta x) Δy=f′(x0​)Δx+o(Δx)，故此时函数可微。 我们其实证明了两件事：1.可微和可导是等价的；2.导数就是微分之商。

例如 y = x 2 y=x^2 y=x2在 x = 1 x=1 x=1处：导数 y ′ ∣ x = 1 = 2 y'|_{x=1}=2 y′∣x=1​=2，微分 d y ∣ x = 1 = 2 d x dy|_{x=1}=2dx dy∣x=1​=2dx， Δ x = 0.01 \Delta x=0.01 Δx=0.01时微分 d y = 0.02 dy=0.02 dy=0.02。

微分的几何意义： x x x变化很小时 y y y的变化量。

微分公式其实就是导数公式乘 d x dx dx，这里就不写了（ d ( u ± v ) = d u ± d v d(u\pm v)=du\pm dv d(u±v)=du±dv； d ( u v ) = v d u + u d v d(uv)=vdu+udv d(uv)=vdu+udv； //前微后不微，后微前不微（ d ( u v ) = v d u − u d v v 2 d(\frac{u}{v})=\large\frac{vdu-udv}{v^2} d(vu​)=v2vdu−udv​。

复合函数的微分：假设 y = f ( u ) , u = g ( x ) y=f(u),u=g(x) y=f(u),u=g(x)。 则 d y = f ′ ( u ) d u dy=f'(u)du dy=f′(u)du， d u = g ′ ( u ) d x du=g'(u)dx du=g′(u)dx，因此 d y = f ′ ( u ) g ′ ( x ) d x = y x ′ d x = y u ′ d u dy=f'(u)g'(x)dx=y_x'dx=y_u'du dy=f′(u)g′(x)dx=yx′​dx=yu′​du。 上式被称为微分形式不变性，即对于任意中间量 t t t， d y = y t ′ d t dy=y_t'dt dy=yt′​dt。