高等数学上册 第八章 向量代数与空间解析几何 知识点总结

曲面方程 F ( x , y , z ) = 0 ，曲面上任一点满足该方程，不在曲面上的点不满足该方程 曲线方程： { F ( x , y , z ) = 0 G ( x , y , z ) = 0 即曲线可以看错是两个曲面的交线 平面点法式方程： 原理：过空间一点可以作且只能作一平面垂直于一已知直线 平面的法线向量：垂直该平面 设法线向量 n = ( A , B , C ) ，已知点 M 0 = ( x 0 , y 0 , z 0 ) ，由 n M 0 = 得到点法式方程为 A ( x − x 0 ) + B ( y − y 0 ) + C ( z − z 0 ) = 0 平面的一般方程： A x + B y + C z + D = 0 ， ( A , B , C ) 为法线向量坐标 任一三元一次方程总是一个平面 平面的截距式方程： x a + y b + c z = 1 ， a 、 b 和 c 分别为平面在 x 、 y 和 z 轴上的截距 两平面的夹角： 法线向量的夹角，通常为锐角或直角 直线的对称式方程或点向式方程： 这里的向指方向向量 x − x 0 m = y − y 0 n = z − z 0 p ， s ( m , n , p ) 是方向向量 直线的参数方程： { x = x 0 + m t y = y 0 + n t z = z 0 + p t 直线的平面束方程： A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 + λ ( A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 ) = 0 曲面方程F(x,y,z)=0，曲面上任一点满足该方程，不在曲面上的点不满足该方程 \\ 曲线方程： \begin{cases} F(x,y,z)=0 \\ G(x,y,z)=0 \end{cases} 即曲线可以看错是两个曲面的交线 \\ \,\\ 平面点法式方程：\\ 原理：过空间一点可以作且只能作一平面垂直于一已知直线 \\ 平面的法线向量：垂直该平面 \\ 设法线向量n=(A,B,C)，已知点M_0=(x_0,y_0,z_0)，由nM_0= \\ 得到点法式方程为A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0 \\ \,\\ 平面的一般方程：\\ Ax+By+Cz+D=0，(A,B,C)为法线向量坐标 \\ 任一三元一次方程总是一个平面 \\ \,\\ 平面的截距式方程：\\ \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{c}{z}=1，a、b和c分别为平面在x、y和z轴上的截距 \\ \,\\ 两平面的夹角：\\ 法线向量的夹角，通常为锐角或直角 \\ \,\\ 直线的对称式方程或点向式方程：\\ 这里的向指方向向量 \\ \frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}，s(m,n,p)是方向向量 \\ \,\\ 直线的参数方程：\\ \begin{cases} x=x_0+mt \\ y=y_0+nt \\ z=z_0+pt \end{cases} \\ \,\\ 直线的平面束方程：\\ A_1x+B_1y+C_1z+D_1+\lambda(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0 曲面方程F(x,y,z)=0，曲面上任一点满足该方程，不在曲面上的点不满足该方程曲线方程：{F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0​即曲线可以看错是两个曲面的交线平面点法式方程：原理：过空间一点可以作且只能作一平面垂直于一已知直线平面的法线向量：垂直该平面设法线向量n=(A,B,C)，已知点M0​=(x0​,y0​,z0​)，由nM0​=得到点法式方程为A(x−x0​)+B(y−y0​)+C(z−z0​)=0平面的一般方程：Ax+By+Cz+D=0，(A,B,C)为法线向量坐标任一三元一次方程总是一个平面平面的截距式方程：ax​+by​+zc​=1，a、b和c分别为平面在x、y和z轴上的截距两平面的夹角：法线向量的夹角，通常为锐角或直角直线的对称式方程或点向式方程：这里的向指方向向量mx−x0​​=ny−y0​​=pz−z0​​，s(m,n,p)是方向向量直线的参数方程：⎩ ⎨ ⎧​x=x0​+mty=y0​+ntz=z0​+pt​直线的平面束方程：A1​x+B1​y+C1​z+D1​+λ(A2​x+B2​y+C2​z+D2​)=0

讨论两个问题： 已知几何图形，建立曲面方程；已知曲面方程，研究这个方程表示的曲面的形状 球面： 三元二次方程 A x 2 + A y 2 + A z 2 + D x + E y + F z + G = 0 旋转曲面： 求旋转曲面方程的核心思想： 已知平面曲线方程，将其绕其中一个轴转动，比如 z 轴， 则旋转后的点 z 坐标不变，且到 z 轴距离不变，求出旋转后的点到 z 轴的距离，代入原曲线方程，即得旋转曲面方程 柱面： 定义：直线 L （母线）沿定曲线 C （准线）平行移动形成的轨迹 二次曲面： 三元二次方程表示二次曲面，而三元一次方程是一次曲面，即平面 （ 1 ）椭圆锥面 x 2 a 2 + y 2 b 2 = z 2 化为 x 2 ( a t ) 2 + y 2 ( b t ) 2 = 1 的形式，当 z 变化时，该方程在 z = t 对应平面上是一个椭圆 且 z 变化时，椭圆的实轴和虚轴也在变化（比例不变），当 z → 0 时，浓缩为一点 从图形伸缩变形的角度： 如椭圆可以看做是圆 x 2 + y 2 = a 2 沿 y 轴方向伸缩 b a 倍形成的图形 （ 2 ）椭球面 可以看做球体沿着两个轴伸缩变形得来 （ 3 ）单叶双曲面 （ 4 ）双叶双曲面 （ 5 ）椭圆抛物面 （ 6 ）双曲抛物面（马鞍面） （ 7 ）椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面 讨论两个问题：\\ 已知几何图形，建立曲面方程；已知曲面方程，研究这个方程表示的曲面的形状 \\ \,\\ 球面：\\ 三元二次方程Ax^2+Ay^2+Az^2+Dx+Ey+Fz+G=0 \\ \,\\ 旋转曲面：\\ 求旋转曲面方程的核心思想：\\ 已知平面曲线方程，将其绕其中一个轴转动，比如z轴， \\ 则旋转后的点z坐标不变，且到z轴距离不变，求出旋转后的点到z轴的距离，代入原曲线方程，即得旋转曲面方程 \\ \,\\ 柱面：\\ 定义：直线L（母线）沿定曲线C（准线）平行移动形成的轨迹 \\ \,\\ 二次曲面：\\ 三元二次方程表示二次曲面，而三元一次方程是一次曲面，即平面 \\ （1）椭圆锥面\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2 \\ 化为\frac{x^2}{(at)^2}+\frac{y^2}{(bt)^2}=1的形式，当z变化时，该方程在z=t对应平面上是一个椭圆 \\ 且z变化时，椭圆的实轴和虚轴也在变化（比例不变），当z \to 0时，浓缩为一点 \\ \,\\ 从图形伸缩变形的角度：\\ 如椭圆可以看做是圆x^2+y^2=a^2沿y轴方向伸缩\frac{b}{a}倍形成的图形 \\ （2）椭球面 \\ 可以看做球体沿着两个轴伸缩变形得来 \\ （3）单叶双曲面 \\ （4）双叶双曲面 \\ （5）椭圆抛物面 \\ （6）双曲抛物面（马鞍面）\\ （7）椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面 讨论两个问题：已知几何图形，建立曲面方程；已知曲面方程，研究这个方程表示的曲面的形状球面：三元二次方程Ax2+Ay2+Az2+Dx+Ey+Fz+G=0旋转曲面：求旋转曲面方程的核心思想：已知平面曲线方程，将其绕其中一个轴转动，比如z轴，则旋转后的点z坐标不变，且到z轴距离不变，求出旋转后的点到z轴的距离，代入原曲线方程，即得旋转曲面方程柱面：定义：直线L（母线）沿定曲线C（准线）平行移动形成的轨迹二次曲面：三元二次方程表示二次曲面，而三元一次方程是一次曲面，即平面（1）椭圆锥面a2x2​+b2y2​=z2化为(at)2x2​+(bt)2y2​=1的形式，当z变化时，该方程在z=t对应平面上是一个椭圆且z变化时，椭圆的实轴和虚轴也在变化（比例不变），当z→0时，浓缩为一点从图形伸缩变形的角度：如椭圆可以看做是圆x2+y2=a2沿y轴方向伸缩ab​倍形成的图形（2）椭球面可以看做球体沿着两个轴伸缩变形得来（3）单叶双曲面（4）双叶双曲面（5）椭圆抛物面（6）双曲抛物面（马鞍面）（7）椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面

一般方程： { F ( x , y , z ) = 0 G ( x , y , z ) = 0 参数方程： 如螺旋线方程为： { x = a cos ⁡ ω t y = a sin ⁡ ω t z = v t ，其中 ω 是角速度， v 是线速度，质点在 x 2 + y 2 = a 2 表示的柱面上运动 空间曲线在坐标面上的投影： （ 1 ）投影柱面： 联立空间曲线的一般方程，消除某个变量，如 z ，得到只包含 x 和 y 的方程 H ( x , y ) = 0 则空间曲线必满足该方程，曲线上所有点都在该方程表示的柱面上，虽然高低各不同（ z 值不同） （ 2 ）投影曲线： 如果给方程 H ( x , y ) = 0 再加一个条件 z = 0 ，则表示原空间曲线在 x o y 平面的投影曲线 一般方程：\\ \begin{cases} F(x,y,z)=0 \\ G(x,y,z)=0 \end{cases} \\ \,\\ 参数方程：\\ 如螺旋线方程为： \begin{cases} x=a\cos \omega t \\ y=a\sin \omega t \\ z=vt \end{cases} ，其中\omega是角速度，v是线速度，质点在x^2+y^2=a^2表示的柱面上运动 \\ \,\\ 空间曲线在坐标面上的投影：\\ （1） 投影柱面：\\ 联立空间曲线的一般方程，消除某个变量，如z，得到只包含x和y的方程H(x,y)=0 \\ 则空间曲线必满足该方程，曲线上所有点都在该方程表示的柱面上，虽然高低各不同（z值不同） \\ （2）投影曲线： \\ 如果给方程H(x,y)=0再加一个条件z=0，则表示原空间曲线在xoy平面的投影曲线 一般方程：{F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0​参数方程：如螺旋线方程为：⎩ ⎨ ⎧​x=acosωty=asinωtz=vt​，其中ω是角速度，v是线速度，质点在x2+y2=a2表示的柱面上运动空间曲线在坐标面上的投影：（1）投影柱面：联立空间曲线的一般方程，消除某个变量，如z，得到只包含x和y的方程H(x,y)=0则空间曲线必满足该方程，曲线上所有点都在该方程表示的柱面上，虽然高低各不同（z值不同）（2）投影曲线：如果给方程H(x,y)=0再加一个条件z=0，则表示原空间曲线在xoy平面的投影曲线