格林公式，高斯公式，斯托克斯公式简易理解和串联

看了一些理解，大多数是从微分小方块边界抵消的角度讲解的，对本人不够抽象的脑子实在是不太友好……所以我试图从直观推导的角度建立理解。

先从整体建立印象：

格林公式：用对（边界内）平面的积分代替对曲线边界（二维）的积分

高斯公式：用对（面内）立体的积分代替对曲面的积分

斯托克斯公式：用对（边界内）曲面的积分代替对曲线边界（三维）的积分

这里再引入一个牛莱公式

牛莱公式：用对（两点间）线段的积分代替两端点原函数之差

不难看出这些公式有一个共同的思想，也就是“用未知的内部代替确定的边界”。而公式的意义就在于让未知变成确定，也就是建立内部被积函数和边界被积函数的联系。

接下来是推导。

从右边的二重积分入手（毕竟大家都会算二重积分，相对好证明一点），分成两部分证明。我们先选择含P的第二部分，假设曲线如下图：

相当于是二重积分的切一刀，从x轴切，化成第二步的样子。然后，我们发现里面是不是有点眼熟，没错，就是牛莱公式，对导数求积分等于原函数的两头之差！这样就化到第三步。

那么第三步又是怎样和最终的曲线积分建立联系的呢？这里需要用到积分的物理意义。我们将P（x）认为是作用在x点的力，那么我们要求的最终的曲线积分就是求这个力在闭合边界上做的功之和。而第三步的式子里，正好可以看作上边界的总功加下边界的总功！中间的减号则是因为为了保持顺时针，下部分需要是由b到a的。

需要注意的是，我们虽然平时都说只有第二类曲线积分有方向，但其实并不是这样。有没有方向实际是人为规定的，完全取决于我们想用这个积分表示什么样的物理或数学意义。因此这里我们让一重积分有方向，自然通过正负号来表示，这样就通过巧妙的被积函数实现了对直线的积分与对曲线的积分的转化。

那么，为什么这部分整体前面是负号？别忘了最终得到的曲线积分是顺时针的，而我们定义曲线积分正向为逆时针，所以前面需要加负号。

至于为什么能够看成上下两条组成的闭合曲线……这肯定是简化的结果，怎么方便算怎么来……就像下面对含Q部分的证明，图像怎么方便计算，我们就假定它是什么形状。

需要注意的是，这里算出来的曲线积分正好是逆时针，也就是正向的，所以前面是不加负号的。

深层原因是，二重积分是默认上限高于下限，这一点沿袭一重积分，因此会一个逆时针一个顺时针。

如果理解了格林公式，恭喜你，余下两个就会非常容易！

格林公式是一切的基础。高斯公式可以理解为是两边同时升维的格林公式，线升面，二重升三重。后面的斯托克斯同样可以理解为是升维的格林公式，只不过是从二维曲线升三维曲线，平面升为曲面。

比较好的一点是，高斯公式的三项都为正（我之前死活搞不懂为什么格林公式有负的但高斯公式没有……）

同样选取含P的一项进行证明，剩下的同理，不再赘述。

同样的，由第一步到第二步用牛莱公式，第三步看成前后两个面的做功累积。曲面的方向由法向量确定，这里我们认为x轴正向即曲面积分的正向，则第二项取负，正好是前后面的外向，和最终曲面积分取外侧符合。

剩下的分别为立体的上下面，左右面，推导过程同前后面。

斯托克斯公式完全可以看作格林公式的加长版，理解难度上比高斯公式更没含金量。

完全可以理解为三个格林公式拼一块儿（不严格）。也也有人说格林公式是斯托克斯公式在xoy面上的投影，这么记。

总之怎么顺怎么理解吧，重在想通和能记住。

格林公式：闭合曲线dx+dy→二重dxdy

高斯公式：闭合曲面dydz+dzdx+dxdy→三重dxdydz

斯托克斯公式：闭合曲线dx+dy+dz→二重dydz+dzdx+dxdy