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连续函数是指函数y=f(x)当自变量x的变化很小时,所引起的因变量y的变化也很小。 例如,气温随时间变化,只要时间变化很小,气温的变化也是很小的;又如,自由落体的位移随时间变化,只要时间变化足够短,位移的变化也是很小的。 对于这种现象,因变量关于自变量是连续变化的,连续函数在直角坐标系中的图像是一条没有断裂的连续曲线。 由极限的性质可知,一个函数在某点连续的充要条件是它在该点左右都连续。 定理一: 在某点连续的有限个函数经有限次和、差、积、商(分母不为0) 运算,结果仍是一个在该点连续的函数。 定理二 :连续单调递增 (递减)函数的反函数,也连续单调递增 (递减)。 定理三 :连续函数的复合函数是连续的。 这些性质都可以从连续的定义以及极限的相关性质中得出。 关于间断点: 推论: 例题: 一致连续性: 闭区间上的连续函数在该区间上一致连续。 所谓一致连续是指,对任意ε>0(无论其多么小),总存在正数δ,当区间I上任意两个数x1、x2满足|x1-x2| |
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