10373 高中立体几何向量法全攻略

　　向量法是解高中立体几何题的神器。只要能建立空间直角坐标系的题，都可以用向量法来解，而这样的题目可以占到所有立体几何题的 95% 以上。与传统方法相比，向量法的计算量稍微大一些，但它的优点是不需要费脑筋做辅助线，而只需要简单粗暴地按套路进行计算，所以尤其适用于复杂的问题。

　　向量法的完整套路中，包含一种名为「叉积」的运算，它在部分地区是超出教学大纲的。但是没有「叉积」的向量法在很多情况下发挥不出它的魔力。本文就来把「叉积」这个缺口补上，让大家领略一下向量法的简单、粗暴、有效。当然啦，我知道你们会有「考试时不让用叉积」的抱怨。没关系，我会教你怎样把叉积「伪装」成不超纲的内容。

　　本文的第一部分将介绍向量间的点积、叉积两种运算，包括它们的定义、计算公式、运算律，以及向量法中直线和平面的方向的表示方法。高中立体几何题的大部分问题都是求角或求距离，本文的第二、三部分就来介绍各种角和距离用向量法怎么求。证明题一般是要证明线、面之间的平行或垂直，或者两个角的大小、两条线段的长度相等，都可以化归成求角或求距离。在第四部分，我会讲一下叉积在求面积、求体积这两种相对罕见的题型中的用法。最后展示一道例题。

　1.1 向量的点积运算

　　向量的点积是大纲之内的内容。设两个向量为\vec{a}, \vec{b}，它们的夹角为\theta。\vec{a}, \vec{b}的点积记作\vec{a} \cdot \vec{b}，读作「a 点乘 b」，或干脆读作「a 点 b」（「点」字常常儿化）。\vec{a} \cdot \vec{b}是一个数，它等于\vec{a}, \vec{b}各自的模之积再乘以夹角的余弦：\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta。当\vec{a}, \vec{b}垂直时，\vec{a} \cdot \vec{b} = 0。

　　点积运算适用于任何维度的向量，不过本文只讨论三维情况。在空间直角坐标系中，设\vec{a}, \vec{b}的坐标为\vec{a} = (x_1, y_1, z_1), \vec{b} = (x_2, y_2, z_2)，则\vec{a} \cdot \vec{b}可用这些坐标表达为\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2。

　　向量的点积具有交换律和分配律：

但没有结合律，因为两个向量的点积是一个数，不能再与第三个向量进行点积运算。

　1.2 向量的叉积运算

　　向量的叉积是本文要介绍的重点。叉积仅对三维向量有定义。设两个三维向量为\vec{a}, \vec{b}，它们的夹角为\theta。\vec{a}, \vec{b}的叉积记作\vec{a} \times \vec{b}，读作「a 叉乘 b」，或干脆读作「a 叉 b」（「叉」字也可以儿化）。\vec{a} \times \vec{b}是一个向量，它具有以下性质：

　　右手定则有两种理解方式，如下图。一种是：伸出拇指和食指，让它们分别朝向\vec{a}, \vec{b}的方向，然后伸出中指让它与手掌垂直，则中指的方向就是\vec{a} \times \vec{b}的方向。另一种是：让四指从\vec{a}的方向弯向\vec{b}的方向，并伸出拇指，则拇指的方向就是\vec{a} \times \vec{b}的方向。

当\vec{a}, \vec{b}平行时，\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}（注意结果是零向量）。　　在空间直角坐标系中，设\vec{a}, \vec{b}的坐标为\vec{a} = (x_1, y_1, z_1), \vec{b} = (x_2, y_2, z_2)，则\vec{a} \times \vec{b}可用这些坐标表达为\vec{a} \times \vec{b} = (y_1z_2 - z_1y_2, \, z_1x_2 - x_1z_2, \, x_1y_2 - y_1x_2)。这个公式可以用交叉相乘法来记忆：

注意，左、右两个交叉相乘是「捺减撇」，中间的交叉相乘是「撇减捺」。

　　向量的叉积具有反交换律和分配律：

两个向量的叉积是一个向量，可以继续与第三个向量进行叉积运算，但不幸的是，叉积运算也不满足结合律，即没有(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})。

　1.3 直线与平面方向的表示

　　在能建立空间直角坐标系的题目中，提到一条直线，一定会已知直线上两点A,B的坐标。两个坐标的差就是直线的方向向量\overrightarrow{AB}，它可以表示直线的方向，在求角和求距离时都很有用。

　　而平面的方向，则是用与平面垂直的向量来表示的，这个向量称为「法向量」。提到一个平面，一定会已知平面上不共线的三点A,B,C的坐标，由此可以得到两个向量\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}。这两个向量的叉积就是平面的法向量。根据需要，可以选择\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}或\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AB}作为平面的法向量，这两个法向量大小相同，方向相反。

　　在立体几何题中，叉积的主要用途就是求平面的法向量。如果考试时不允许在步骤中使用叉积运算，可以用如下方法绕过去：既然法向量就是与平面中两个已知向量都垂直的向量，那么可以设出法向量\vec{n}的坐标(x_n,y_n,z_n)，并利用\vec{n}与\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}都垂直来列出两个方程。设\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}的坐标分别为(x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2)，则两个垂直可以用点积表示为：

在试卷上列出这个方程组后，不必真正去解它，而是在草稿纸上根据\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}，利用交叉相乘法算出法向量坐标，直接把结果写到试卷上。但这种「伪装」具有一定的局限性——方程组只能解出法向量的方向，不能解出它的模，所以遇到需要使用叉积的模的场合，就绕不过去了。

　　高中立体几何涉及的角度有：线线角、线面角、面面角。

　2.1 求两条直线的夹角

　　设两条直线的方向向量分别为\vec{a}, \vec{b}，它们的夹角为\theta。两条直线的夹角，就是\theta和\pi - \theta中较小的那个，它的余弦一定是非负的。由点积定义\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta可得两个方向向量的夹角为\arccos \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}，于是两条直线的夹角就是\arccos \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}。

　　有同学要问了：上面的方法利用的是点积，那么利用叉积求得两条直线的夹角为\arcsin \frac{|\vec{a} \times \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}行不行呢？答案是：行，但是叉积的计算量比点积大，所以优先选择点积。

　　注意向量法并不要求两条直线共面，它同样适用于异面直线！这就避免了传统方法中作平行线的麻烦。

　2.2 求直线与平面的夹角

　　设直线的方向向量为\vec{a}，平面的法向量为\vec{n}，两个向量的夹角为\theta。容易看出，待求的线面角\alpha是\theta和\pi - \theta中较小者的余角，\sin\alpha = |\cos\theta|。由点积定义，\vec{a} \cdot \vec{n} = |\vec{a}| |\vec{n}| \cos \theta，于是有\alpha = \arcsin \frac{|\vec{a} \cdot \vec{n}|}{|\vec{a}| |\vec{n}|}。与 2.1 节相同，我们优先选择计算量小的点积运算，而不是叉积。

　　请再次领略向量法的简单粗暴有效：传统方法中，要求线面角，必须找到直线与平面的交点，并作出直线在平面内的投影。而在向量法中，只要知道直线上的任意两点和平面中任意三点（不共线）的坐标，就可以代入公式计算出直线的方向向量和平面的法向量，再代入公式计算夹角，完全不必考虑五个已知点的位置关系。

　2.3 求两个平面的夹角

　　设两个平面的法向量分别为\vec{n}, \vec{m}，它们的夹角为\theta。两个平面的夹角，就是\theta和\pi - \theta中较小的那个。用与 2.1 节相同的方法，可以得到两个平面的夹角为\arccos \frac{|\vec{n} \cdot \vec{m}|}{|\vec{n}| |\vec{m}|}。

　　在几何题中，提到「二面角」，往往指的不是两个「平面」的夹角，而是两个「半平面」的夹角——也就是说，求的是\theta和\pi - \theta中特定的某一个。怎么知道是哪一个呢？还记得在求法向量的时候，可以人为选择箭头指向哪一头吗？只要让两个法向量一个指向角外，一个指向角内（如上图），那么两个半平面构成的二面角\alpha，就一定是两个法向量的夹角\theta = \arccos \frac{\vec{n} \cdot \vec{m}}{|\vec{n}| |\vec{m}|}（注意分子上没有绝对值），而不是它的补角了。反之，如果两个法向量都指向角内或都指向角外，那么二面角\alpha就是法向量夹角\theta的补角\pi - \theta。

　　用向量法求二面角，同样不需要找到两个面的交线和它在两个面内的垂线，而只需要知道两个面内六个点的坐标。在很多情况下，交线上会有两个已知点，那么就只需要在两个面中各再找一个点。

　　点、线、面三种图形两两组合，可以得到六种距离：两点距、点线距、点面距、线线距、线面距、面面距。其中线面距、面面距只在线面或面面平行时才有定义，此时可以在直线或其中一个平面中任取一点，转化为点面距。因此这一部分将介绍前四种距离的求法。

　3.1 求两点间的距离

　　设两点的坐标分别为A(x_1,y_1,z_1), B(x_2,y_2,z_2)，则它们的距离为|AB| = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2 + (z_1-z_2)^2}。

　3.2 求点到直线的距离

　　如图，设直线上任意一点到已知点的向量为\vec{a}，直线的方向向量为\vec{b}，两个向量的夹角为\theta。可以看出，点到直线的距离为|\vec{a}| \sin \theta。由叉积的定义，有| \vec{a} \times \vec{b} | = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta，所以点到直线的距离就是\frac{|\vec{a} \times \vec{b}|}{|\vec{b}|}。

　　这里为什么使用了计算量大的叉积，而不是点积呢？这是为了利用叉积定义中现成的\sin \theta。

　3.3 求点到平面的距离

　　如图，设平面上任意一点到已知点的向量为\vec{a}，平面的法向量为\vec{n}，两个向量的夹角为\theta。可以看出，点到直线的距离为|\vec{a}| |\cos \theta|（余弦取绝对值是因为\theta可能是钝角）。由点积的定义，有\vec{a} \cdot \vec{n} = |\vec{a}| |\vec{n}| \cos \theta，所以点到平面的距离就是\frac{|\vec{a} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}。

　　点到平面的距离，其实是向量\vec{a}在法向量\vec{n}上的投影长度，\frac{|\vec{a} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}也正是投影长度公式。

　3.4 求两条直线的距离

　　三维空间中直线有三种位置关系：相交、平行、异面。后两种情况都可以求距离，但方法不一样。若两条直线平行，则可在其中一条直线上任取一点，转化成求该点到另一条直线的距离。若两条直线异面，则可以按如下步骤求出它们的距离。设第一条直线上有两个已知点A,B，第二条直线上有两个已知点C,D。首先，找一个向量与两条直线都垂直，这个向量可以是两条直线的方向向量的叉积\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{CD}。然后，任作一条连结两条直线的线段（比如AC），将它投影到\vec{n}上，投影长度\frac{|\overrightarrow{AC} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}就是异面直线的距离。

　　我们看到，两条直线的位置关系不同时，它们的距离求法不一样。但向量法最有用的时候，正是图形的位置关系不清楚的时候。有没有简便的方法判断直线的位置关系呢？有！先不管三七二十一地计算「法向量」\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{CD}，如果算出来发现是零向量，那么说明两条直线平行，转化成点线距。如果算出来法向量非零，那么就继续计算投影长度，如果投影长度为 0，说明两条直线相交，否则两条直线异面，投影长度是它们之间的距离。

　　这两种题型在高中立体几何中出现的频率不高，但它们与高等数学中「行列式」的概念联系紧密，有兴趣的同学可以涉猎一下。

　4.1 求三角形的面积

　　设三角形三个顶点A,B,C的坐标均已知，则三角形的面积为S = \frac{1}{2} |AB| |AC| \sin \angle A。而由叉积的定义，|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}| \sin \angle A，所以S = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|。

　　这个公式同样适用于平面几何，此时A,B,C的z坐标均为 0。设\overrightarrow{AB} = (x_1, y_1, 0)，\overrightarrow{AC} = (x_2, y_2, 0)，则\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (0, 0, x_1y_2 - y_1x_2)。这个向量的z坐标的绝对值的一半就是三角形ABC的面积，而z坐标的绝对值是以AB,AC为邻边的平行四边形的面积。z坐标的正负号，表示在平面中从\overrightarrow{AB}到\overrightarrow{AC}是逆时针还是顺时针旋转，因此z坐标也称为平行四边形的有向面积。

　　把\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}的二维坐标排成两行两列\left| \begin{array}{cc} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \end{array} \right|，这个东西称为「行列式」，它的值是一个数。二阶行列式的计算公式是「交叉相减」：\left| \begin{array}{cc} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \end{array} \right| = x_1y_2 - y_1x_2。二阶行列式对应着平面中两个向量的叉积，其几何意义就是「平行四边形的有向面积」。

　4.2 求四面体的体积

　　设四面体四个顶点A,B,C,D的坐标均已知。由 4.1 节，底面三角形ABC的面积为\frac{1}{2} | \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} |；而四面体的高是顶点D到底面的距离，由 3.3 节，这个距离为h = \frac{|\overrightarrow{AD} \cdot (\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC})|} {|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|}。四面体的体积为V = \frac{1}{3}Sh = \frac{1}{6}|\overrightarrow{AD} \cdot (\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC})|。

　　上述结果去掉\frac{1}{6}后剩下的部分|\overrightarrow{AD} \cdot (\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC})|，是以AB,AC,AD为三边的平行六面体的体积。再去掉绝对值，剩下的部分称为向量\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}的混合积，它表示了平行六面体的有向体积——若从角A内部观察，向量\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}呈逆时针排列，则体积为正，反之为负。

　　设\overrightarrow{AB} = (x_1, y_1, z_1)，\overrightarrow{AC} = (x_2, y_2, z_2)，\overrightarrow{AD} = (x_3, y_3, z_3)。容易验证，\overrightarrow{AD} \cdot (\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}) = x_1y_2z_3 + y_1z_2x_3 + z_1x_2y_3 - x_1z_2y_3 - y_1x_2z_3 - z_1y_2x_3。这正是三阶行列式\left| \begin{array}{ccc} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 \end{array} \right|的计算公式。三阶行列式对应着三维空间中三个向量的混合积，其几何意义是「平行六面体的有向体积」。

　　行列式的概念还可以推广到更高维的空间。从同一个点出发的n个n维向量的坐标排成的n阶行列式，代表了以这些向量为边的n维「超平行体」的「有向超体积」。

　　图中是一座金字塔。它是一个正四棱锥，底面ABCD是一个边长 10 米的正方形，各个侧面都是正三角形。在底边BC的中点G处竖立着一根高2\sqrt{2}米的火把FG。

解：如上图建立空间直角坐标系，原点O为底面中心。容易求得下列各点坐标：A(5, -5, 0), B(5, 5, 0), C(-5, 5, 0), F(0, 5, 2\sqrt{2}), G(0, 5, 0)（单位均为米，下略）。金字塔的高未知，设顶点的坐标为E(0,0,h)。由于侧面都是等边三角形，EB = \sqrt{5^2 + 5^2 + h^2} = 10，解得h = 5\sqrt{2}。

求二面角A-EB-C：侧面EBC的一个法向量为\overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BE} = (-10, 0, 0) \times (-5, -5, 5\sqrt{2}) = (0, 50\sqrt{2}, 50)，不妨缩短成\vec{n} = (0, \sqrt{2}, 1)，它指向二面角A-EB-C外部。侧面EAB的一个法向量为\overrightarrow{BA} \times \overrightarrow{BE} = (0, -10, 0) \times (-5, -5, 5\sqrt{2}) = (-50\sqrt{2}, 0, -50)，不妨缩短成\vec{m} = (-\sqrt{2}, 0, -1)，它指向二面角A-EB-C内部。二面角的大小就是法向量的夹角，即\arccos \frac{\vec{n} \cdot \vec{m}}{|\vec{n}| |\vec{m}|} = \arccos \left(-\frac{1}{3}\right)。

求直线AE与BC的距离：先求一个与两条直线都垂直的向量\overrightarrow{AE} \times \overrightarrow{BC} = (-5, 5, 5\sqrt{2}) \times (-10, 0, 0) = (0, -50\sqrt{2}, 50)，不妨缩短成\vec{l} = (0, -\sqrt{2}, 1)。将\overrightarrow{AB} = (0, 10, 0)投影到这个向量上，投影长度为\frac{|\overrightarrow{AB} \cdot \vec{l}|}{|\vec{l}|} = \frac{10}{3} \sqrt{6}，这就是直线AE与BC的距离。

求点F到直线BE的距离：此距离d = |BF| \sin \angle{FBE} = \frac{| \overrightarrow{BF} \times \overrightarrow{BE} |}{|\overrightarrow{BE}|}。\overrightarrow{BF} = (-5, 0, 2\sqrt{2})，\overrightarrow{BE} = (-5, -5, 5\sqrt{2})，\overrightarrow{BF} \times \overrightarrow{BE} = (10\sqrt{2}, 15\sqrt{2}, 25)，代入得d = \frac{\sqrt{51}}{2}。