高中数学网>> 高中数学在线组卷

(1) ；

(2) .

【分析】（ 1 ）由抛物线的定义可得 ，即可得解；

（ 2 ）法一：设点的坐标及直线 ，由韦达定理及斜率公式可得 ，再由差角的正切公式及基本不等式可得 ，设直线 ，结合韦达定理可解 .

【详解】（ 1 ）抛物线的准线为 ，当 与 x 轴垂直时，点 M 的横坐标为 p ，

此时 ，所以 ，

所以抛物线 C 的方程为 ；

（ 2 ） [ 方法一 ] ：【最优解】直线方程横截式

设 ，直线 ，

由 可得 ， ，

由斜率公式可得 ， ，

直线 ，代入抛物线方程可得 ，

，所以 ，同理可得 ，

所以

又因为直线 MN 、 AB 的倾斜角分别为 ，所以 ，

若要使 最大，则 ，设 ，则 ，

当且仅当 即 时，等号成立，

所以当 最大时， ，设直线 ，

代入抛物线方程可得 ，

，所以 ，

所以直线 .

[ 方法二 ] ：直线方程点斜式

由题可知，直线 MN 的斜率存在 .

设 , 直线

由 得： ， , 同理， .

直线 MD : , 代入抛物线方程可得： ，同理， .

代入抛物线方程可得 : , 所以 ，同理可得 ，

由斜率公式可得：

（下同方法一）若要使 最大，则 ，

设 ，则 ，

当且仅当 即 时，等号成立，

所以当 最大时， ，设直线 ，

代入抛物线方程可得 ， ，所以 ，所以直线 .

[ 方法三 ] ：三点共线

设 ，

设 , 若 P 、 M 、 N 三点共线，由

所以 ，化简得 ，

反之，若 , 可得 MN 过定点

因此，由 M 、 N 、 F 三点共线，得 ，

由 M 、 D 、 A 三点共线，得 ，

由 N 、 D 、 B 三点共线，得 ，

则 ， AB 过定点（ 4,0 ）

（下同方法一）若要使 最大，则 ，

设 ，则 ，

当且仅当 即 时，等号成立，

所以当 最大时， ，所以直线 .

【整体点评】（ 2 ）法一：利用直线方程横截式，简化了联立方程的运算，通过寻找直线 的斜率关系，由基本不等式即可求出直线 AB 的斜率，再根据韦达定理求出直线方程，是该题的最优解，也是通性通法；

法二：常规设直线方程点斜式，解题过程同解法一；

法三：通过设点由三点共线寻找纵坐标关系，快速找到直线 过定点，省去联立过程，也不失为一种简化运算的好方法．