| 【高中】高中数学导数知识总结+导数七大题型答题技巧! | 您所在的位置：网站首页 › 高中数学求导 › 【高中】高中数学导数知识总结+导数七大题型答题技巧! |
【高中】高中数学导数知识总结+导数七大题型答题技巧!
知识总结一. 导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数y=f(x)在x= 处的瞬时变化率是 2. 导数的几何意义：曲线的切线，当点 趋近于P时，直线 PT 与曲线相切。容易知道，割线的斜率是 当点 趋近于 P 时，函数y=f(x)在x= 处的导数就是切线PT的斜率k，即 3. 导函数：当x变化时， 便是x的一个函数，我们称它为f（x）的导函数. y=f（x）的导函数有时也记作 ，即 二. 导数的计算基本初等函数的导数公式： 导数的运算法则：  复合函数求导：y=f(u)和u=g(x)，则称y可以表示成为x的函数，即y=f(g(x))为一个复合函数。三、导数在研究函数中的应用1. 函数的单调性与导数： 一般的，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间（a,b）内(1) 如果 ＞0，那么函数y=f(x)在这个区间单调递增；(2) 如果 ＜0，那么函数y=f(x)在这个区间单调递减；2. 函数的极值与导数：极值反映的是函数在某一点附近的大小情况。求函数y=f(x)的极值的方法有：（1）如果在 附近的左侧 ＞0 ，右侧 ＜0，那么 是极大值；（2）如果在附近的左侧 ＜0 ，右侧 ＞0，那么 是极小值；3. 函数的最大(小)值与导数：求函数y=f(x)在［a,b］上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数y=f(x)在［a,b］内的极值；（2）将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的是最大值，最小的是最小值。四. 推理与证明（1）合情推理与类比推理根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理。根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理，叫做类比推理。类比推理的一般步骤：(1) 找出两类事物的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题（猜想）；(3)一般的，事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似，那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的；(4) 一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题越可靠。（2）演绎推理（俗称三段论）由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理。（3）数学归纳法1. 它是一个递推的数学论证方法。2. 步骤：A. 命题在 n=1（或 ）时成立，这是递推的基础；B.假设在 n=k 时命题成立；C. 证明 n=k+1 时命题也成立。完成这两步，就可以断定对任何自然数（或n≥ ，且n∈N）结论都成立。证明方法：1、反证法；2、分析法；3、综合法。五. 导数中的数学思想数形结合思想数形结合是利用“数”和“形”的相互转化来解决数学问题的思想方法．它为代数问题和几何问题的相互转化架起了桥梁，数形结合重在结合，它们完美的结合，往往能起到事半功倍的效果．数形结合思想贯穿于中学数学的始终，在许多知识板块中都有它的身影．数形结合思想以其直观性、灵活性等特点倍受解题者的衷爱．本文举例说明数形结合的思想在求解导数问题中的灵活运用．例 已知函数 ，当 时取得极大值，当 时取得极小值，求点 对应的区域的面积以及 的取值范围．分析：利用极值的有关知识判断导函数方程的根的范围，再由导函数的图象与相应二次方程的根的关系得到关于 的线性不等关系，点 所对应的区域．第（2）问利用斜率求出 的取值范围．解：函数 的导数为 ，当 时取得极大值，当 时取得极小值，则方程 有两个根，一个根在区间 内，另一个根在区间（1，2）内．由二次函数 的图象与方程 的根的分布之间的关系可以得到  平面内满足约束条件的点 所对应的区域为 （不包括边界，其中点 ， ， 如右图所示）． 的面积为 （ 为点 到 轴的距离）点 与点 连线的斜率为 ，显然 ，即 ．整体代换思想我们在思考问题的时侯，如果能根据题目中的结构特点，把问题中貌似独立，但实质上又相互联系的量看成一个整体，从而在宏观上寻求解决问题的途径，这种思想称之为整体思想．整体思想主要有整体代换、整体求值、整体变形、整体构造等．这种思想若运用巧妙，不仅可以简化运算，而且能够激发学生思维的灵活性．本文仅举一例来说明整体代换思想在求解导数问题时的应用．例 已知 是定义在 上的函数，其图象交 轴于 三点．若点 的坐标为 ，且 在 和 上有相同的单调性，在 和 上有相反的单调性．（1）求 的值；（2）在函数 的图象上是否存在一点 ，使得 在点 的切线斜率为 ？（3）求 的取值范围．解：（1）∵ 在 和 上有相反的单调性，∴ 是 的一个极值点．故 ，即 有一个解为 ，∴ ．（2）因为 交 轴于点 ，所以 ，即 ．令 ，得 ，∴ ， ．因为 在 和 上有相反的单调性，所以 ，得 ．假设存在点 ，使得 在点 的切线斜率为 ．则 ，即 ．∵ ．而 ， ．故不存在点 ，使得 在点 的切线斜率为 ．（3）由题意，设 的函数图象交 轴于点 的坐标为 、点 的坐标为 ．则 ，比较系数得 ．得 ．所以 ， ， ，∵ ，∴当 时， ；当 时， ．故 ．解后反思：本题的第（2）、（3）两问都用到了整体代换的思想，避免了求 的值，大大简化了运算．运用整体思想解题是不是很巧妙？这种整体思想在其它知识板块中都有广泛的应用，在以后的学习中可要留心哟．分类讨论思想分类讨论是中学数学的一种解题思想，对某一问题进行正确地分类讨论要有一种全局的观点，注意在分类时要不重不漏．例1已知 ，求 的单调区间．解：函数 的导数 .（1）当 时，若 ，则 ；若 ，则 ．则 在 内为减函数，在 内为增函数．（2）当 时，由 或 ，则 在 或 内为增函数，在 内为减函数．（3）当 时，由 ，则 在 内为增函数，在 和 内为减函数．从该例的解答中可以看出必须熟练掌握一些初等函数的导数，理解给定区间上 函数为增函数， 函数为减函数．但要确定 的符号，须对参数进行分类讨论．例2已知 ， ．（1）求函数 的最大值．（2）设 ，证明： ．解：（1） 的定义域是 ，则 .当 时， ；当 时， ．又 ，则当且仅当 时， 取最大值0．（2）因 ，设 ．则 ．当 时， ，因此 在 内为减函数；当 时， ，因此 在 内为增函数．从而当 时， 有极小值 ．又因 ， ，所以 ，即 ．设 ，则 ,当 时， ， 在 上为减函数．因为 ， ，所以 ，即 ．所证结论成立．该题属于典型利用导数证明其不等式的问题，一般方法是：先构造函数（多是作差函数），再用导数确定所构造函数的单调性来证明．在证明的过程中难免要分类处理，否则难以确定新函数的正负．解题技巧在考试过程中，很多高中生由于没有掌握适用的解题技巧，尤其是对相关的知识点掌握不够牢固的同学，只能放弃，下面为大家总结了导数七大题型，帮助大家在高考数学中多拿一分， 轻松拿下140+！1 导数单调性、极值、最值的直接应用
电话:0971-6111777 0971-5566888 地址：城西区胜利路21号蓝宝石大酒店南侧3F |
【本文地址】
公司简介
联系我们