高中数学竞赛几何基本定理讲解+必练经典题目（干货！！！）

1998年，美国科学家和教育家在美国的科学年会上一致认为：21世纪，几何万岁。除几何学理论广泛应用于CT扫描·无线电·高清晰度电视等最新电子产品与最新医疗科学之外，其本身具有较强的直观效果，有助于提高学生认识事物的能力，有助于培养学生的逻辑推理能力，有助于数形结合方法解题。

用点·线·面可构成许许多多千姿百态的几何图形，直观的几何图形便于学生认识问题·思考问题·解决问题。如果能养成一个好习惯：“每做一道题都画一个几何图形或一幅几何示意图。”，这对于理解·思考·解题·都是大有益处的。

1． 勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）

(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． 

(2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍． 

2． 射影定理（欧几里得定理）  

3． 中线定理（巴布斯定理）

设△ABC的边BC的中点为P，则有AB^2+AC^2=2(AP^2+BP^2).  

5． 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．  如△ABC中，AD平分∠BAC ，则BD/DC=AB/AC.  

6．  正弦定理（其中R为三角形外接圆半径）．  

7． 余弦定理． 

8．  张角定理．  

9． 斯特瓦尔特(Stewart)定理：设已知△ABC及其底边上B、C两点间的一点D，则有AB2·DC+AC2·BD－AD2·BC＝BC·DC·BD． 

10． 圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．（圆外角如何转化？） 

11． 弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角．  

12． 圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：） 

13．  布拉美古塔（Brahmagupta）定理： 在圆内接四边形ABCD中，AC⊥BD，自对角 线的交点P向一边作垂线，其延长线必平分对边． 

14．  点到圆的幂：设P为⊙O所在平面上任意一点，PO=d，⊙O的半径为r，则d2－ r2就是点P对于⊙O的幂．过P任作一直线与⊙O交于点A、B，则PA·PB= |d2－r2|．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点． 

15．  托勒密（Ptolemy）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即 AC·BD=AB·CD+AD·BC，(逆命题成立) ．（广义托勒密定理）AB·CD+AD·BC≥AC·BD． 

16．  蝴蝶定理：AB是⊙O的弦，M是其中点，弦CD、EF经过点M，CF、DE交AB 于P、Q，求证：MP=QM．  

17．  费马点：

定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于 到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离．

定理2 三角形每一内角都小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120°，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120°时，此角的顶点即为费马点． 

18．  拿破仑三角形：在任意△ABC的外侧，分别作等边△ABD、△BCE、△CAF，则 AE、AB、CD三线共点，并且AE＝BF＝CD，这个命题称为拿破仑定理．  以△ABC的三条边分别向外作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙C1 、⊙A1 、⊙B1的圆心构成的△——外拿破仑的三角形，⊙C1 、⊙A1 、⊙B1三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；△ABC的三条边分别向△ABC的内侧作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙C2 、⊙A2 、⊙B2的圆心构成的△——内拿破仑三角形，⊙C2 、⊙A2 、⊙B2三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形．这两个拿破仑三角形还具有相同的中心．  

19．  九点圆（Nine point round或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形中，三边中心、从各顶 点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质,例如:   

（1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;  

（2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;   

（3）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕

20.     梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。 

或：设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的重要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 。

21.     塞瓦定理是指在△ABC内任取一点O，延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 (BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)=1。

角元形式：设P为平面上一点(不在AB、BC、AC三条直线上)，延长AP、BP、CP分别交对边或其延长线于D、E、F三点，那么(sinBAP/sinPAC)(sinACP/sinPCB)(sinCBP/sinPBA)=1。

22.     西姆松定理：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线上的垂线，则三垂足共线。(此线常称为西姆松线)。西姆松定理的逆定理为:若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。

23.      托勒密(Ptolemy)定理：圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，其推论是任意凸四边形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，而且当ABCD四点共圆时取等号。

24.     厄尔多斯——摩德尔定理：设P是△ABC内或周界上任一点，P点到三边距离分别为x,y,z,则2(x+y+z)≤PA+PB+PC。等号成立当且仅当△ABC为正三角形，且P是△ABC的中心。

25.     欧拉线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线，且外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半。