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高中数学（版聊式）/必修一/基本初等函数/指数函数与对数函数
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指数与指数幂的运算[编辑]
根据图像查看指数的值等,观察其是一次函数,正比例函数,二次函数,反比例函数,一元二次函数等。 有理指数及其运算[编辑] 定义：若 x n = a {\displaystyle x^{n}=a} ，其中 a ∈ R {\displaystyle a\in R} ， n {\displaystyle n} 是正整数，则称 x {\displaystyle x} 是 a {\displaystyle a} 的 n {\displaystyle n} 次方根。容易看出，若 n {\displaystyle n} 为奇数，则 a {\displaystyle a} 存在唯一的 n {\displaystyle n} 次方根，我们记做 a n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}} 。而若 n {\displaystyle n} 为偶数，当 a {\displaystyle a} 为负数时无 n {\displaystyle n} 次方根， a = 0 {\displaystyle a=0} 是有唯一 n {\displaystyle n} 次方根0, a > 0 {\displaystyle a>0} 时有两个互为相反数的 n {\displaystyle n} 次方根，记正的 n {\displaystyle n} 次方根为 a n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}} ，负的 n {\displaystyle n} 次方根为 − a n {\displaystyle -{\sqrt[{n}]{a}}} 。有了n次方根的定义，我们就可以定义有理数次幂的概念。 定义1：设 m , n {\displaystyle m,n} 为互素的正整数， a {\displaystyle a} 为正数，定义 a m n = a m n {\displaystyle a^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}} 。 定义2：设 r {\displaystyle r} 是负有理数， a {\displaystyle a} 是正数，则定义 a r = 1 a − r {\displaystyle a^{r}={\frac {1}{a^{-r}}}} 。这样定义的有理指数幂满足下面的运算法则： a r a s = a r + s {\displaystyle a^{r}a^{s}=a^{r+s}} ( a r ) s = a r s {\displaystyle (a^{r})^{s}=a^{rs}} ( a b ) r = a r b r {\displaystyle (ab)^{r}=a^{r}b^{r}} (其中 a , b {\displaystyle a,b} 为正数， r , s {\displaystyle r,s} 为有理数)如此，我们就把指数的概念推广到了有理数，我们接下来将这一概念推广到全体实数。 无理指数及其运算[编辑]无理数指数幂的运算与有理数相同，可以按照有理数指数幂的运算方法运算无理数指数幂。 指数函数[编辑] 什么是指数函数？[编辑]一般的，形如 y = a x {\displaystyle y=a^{x}} ( a > 0 {\displaystyle a>0} 且 a ≠ 1 {\displaystyle a\neq 1} )的函数称作指数函数。 图像[编辑] 图1：指数函数y=3x的图像（用几何画板5.06绘制）指数函数的图像是一条在x轴上方的曲线，x轴是它的渐近线，如图1. 性质[编辑] 相关属性 a > 1 {\displaystyle a>1} 0 ( 0 , + ∞ ) {\displaystyle C\in \left(0,+\infty \right)} 不同点 单调性 单调递增 单调递减 对应值 当 x > 0 {\displaystyle x>0} 时， y > 1 {\displaystyle y>1} ； x 时， y 与x、y轴的关系 a {\displaystyle a} 越大，向上越靠近y轴，向下越靠近x轴 a {\displaystyle a} 越小，向上越靠近y轴，向下越靠近x轴对数及其运算[编辑] 什么是对数？[编辑] 一般的，若 a x > N {\displaystyle a^{x}>N} （ a > 0 {\displaystyle a>0} 且 a ≠ 1 {\displaystyle a\neq 1} ），那么 x {\displaystyle x} 就可以称作以 a {\displaystyle a} 为底N的对数，记作 x = log a N {\displaystyle x=\log _{a}N} 根据定义可以看出，指数和对数是可以互相转化的。指数是对数的前提，关于对数的问题可以用指数作为桥梁。 特殊对数：[编辑]以10为底的对数称作常用对数，记作 lg x {\displaystyle \lg x} 以无理数 e = 2.71828... {\displaystyle e=2.71828...} 为底的对数称作自然对数，记作 ln x {\displaystyle \ln x} 根据对数的定义可以得到对数的性质：[编辑] 负数和0没有对数，即 log a N {\displaystyle \log _{a}N} 中， N > 0 {\displaystyle N>0} 1的对数是0 底数的对数为1 对数恒等式： a log a N = N {\displaystyle a^{\log _{a}N}=N} log a a x = x {\displaystyle \log _{a}a^{x}=x} 对数的运算性质：[编辑] log a M N = log a M + log a N {\displaystyle \log _{a}MN=\log _{a}M+\log _{a}N} log a M N = log a M − log a N {\displaystyle \log _{a}{\frac {M}{N}}=\log _{a}M-\log _{a}N} log a M n = n log a M {\displaystyle \log _{a}M^{n}=n\log _{a}M} log a r N s = ( s r ) log a N {\displaystyle \log _{a^{r}}N^{s}=\left({\frac {s}{r}}\right)\log _{a}N}对数函数是，那么可以将 x {\displaystyle x} 称作以 a {\displaystyle a} 为底N的对数，记作 x = log a N {\displaystyle x=\log _{a}N} 指数函数的反函数。也就是 x = y a {\displaystyle x=y^{a}} 。 可是用多项式、三角函数、指数函数都没有办法表示这个函数。因此呢，就用新符号 log {\displaystyle \log } 表达，也就是 a y = x ≡ y = log a x {\displaystyle a^{y}=x\equiv y=\log _{a}x} （ ≡ {\displaystyle \equiv } 表示两函数等价） 对数函数在历史上备受重视，可是现在用处很少，基本只在微积分学里使用。微积分学里对数的底都是 e {\displaystyle e} （上文提到过的），数学家为了符号简略，把 log e x {\displaystyle \log _{e}x} 简写为 ln x {\displaystyle \ln x} |
，其中
a
∈
R
{\displaystyle a\in R}
，
n
{\displaystyle n}
是正整数，则称
x
{\displaystyle x}
是
a
{\displaystyle a}
的
n
{\displaystyle n}
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7873203eb76042fcd24056c553de8c86054a2df)
。而若
n
{\displaystyle n}
是有唯一
n
{\displaystyle n}
时有两个互为相反数的
n
{\displaystyle n}
![{\displaystyle -{\sqrt[{n}]{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f91caa71fa14f5eadf212d521122fe7ac35215b4)
。
为互素的正整数，
a
{\displaystyle a}
![{\displaystyle a^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb409de8f30f86d2ee48c97de1f939fdd257d916)
。
定义2：设
r
{\displaystyle r}
是负有理数，
a
{\displaystyle a}
。
(
a
r
)
s
=
a
r
s
{\displaystyle (a^{r})^{s}=a^{rs}}
(
a
b
)
r
=
a
r
b
r
{\displaystyle (ab)^{r}=a^{r}b^{r}}
(其中
a
,
b
{\displaystyle a,b}
为正数，
r
,
s
{\displaystyle r,s}
为有理数)
(
a
>
0
{\displaystyle a>0}
)的函数称作指数函数。
0
(
0
,
+
∞
)
{\displaystyle C\in \left(0,+\infty \right)}
不同点
单调性
单调递增
单调递减
对应值
当
x
>
0
{\displaystyle x>0}
时，
y
>
1
{\displaystyle y>1}
；
x
时，
y
与x、y轴的关系
a
{\displaystyle a}
（
a
>
0
{\displaystyle a>0}
为底的对数称作自然对数，记作
ln
x
{\displaystyle \ln x}
中，
N
>
0
{\displaystyle N>0}
1的对数是0
底数的对数为1
对数恒等式：
a
log
a
N
=
N
{\displaystyle a^{\log _{a}N}=N}
log
a
a
x
=
x
{\displaystyle \log _{a}a^{x}=x}
对数的运算性质：[编辑]
log
a
M
N
=
log
a
M
+
log
a
N
{\displaystyle \log _{a}MN=\log _{a}M+\log _{a}N}
log
a
M
N
=
log
a
M
−
log
a
N
{\displaystyle \log _{a}{\frac {M}{N}}=\log _{a}M-\log _{a}N}
log
a
M
n
=
n
log
a
M
{\displaystyle \log _{a}M^{n}=n\log _{a}M}
log
a
r
N
s
=
(
s
r
)
log
a
N
{\displaystyle \log _{a^{r}}N^{s}=\left({\frac {s}{r}}\right)\log _{a}N}
。
表达，也就是
（
≡
{\displaystyle \equiv }
表示两函数等价）
（上文提到过的），数学家为了符号简略，把
log
e
x
{\displaystyle \log _{e}x}
简写为
ln
x
{\displaystyle \ln x}
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