怎么样把卷子面做成马鞍面【高数考研辅导】

    这里我要谈到的一个问题确确实实是“怎么样把卷子面做成马鞍面”。

    艺术家和建筑设计师常常有意无意间利用一些几何性质，创造自己的杰作。我们数学工作者，就给他们提供一些理论依据或诠释。顺便说一句，如果2010年我还在讲台，那么我一定要学生们去看看世博轴那个钢结构的大漏斗，思考一下怎么样把卷子面做成单叶双曲面？

    本问题形式上是一个艺术建筑设计问题，本质上是数学问题，所以用的当然是数学方法，很多人会看不懂，我要先把标题写清楚，是“高数考研辅导”，免得有人看了标题觉得好奇而误入。

    这个问题对一年级同学我一般都是不讲的，只是在考研辅导时讲讲。2008年起，我已经彻底离开讲台，就再也不讲“怎么样把卷子面做成马鞍面”的问题了。

    前天一个考生问了这样一个问题（http://iask.sina.com.cn/b/20491773.html）

    【问题】过曲面Z=XY上任一点P，作曲面的切平面，证明切平面与曲面的交线一定是两条直线。

    【哈哈】这不正是一个“怎么样把卷子面做成马鞍面”的问题吗？

    【说明1】曲面z=xy是马鞍面，当它绕z轴旋转π/4时，不久得到了X^2-Y^2=2Z马鞍面的标准方程了吗？这几句关于旋转的话是超纲的题外话了，关于旋转，考研不考旋转这个东东。

    【说明2】本问题只适合《数学一》 ，不适合《数学二》和《数学三》。

    【卷子面释义】每次讲到这题时，很多学生光知道“马鞍面”不知道“什么叫‘卷子面’”。卷子面其实就是烘烤干的切面，保持笔直状态，卷成圆筒状。水煮后加调料，就是光面（上海人叫它为阳春面）。

    【问题关键】因为交线C在切平面Π上，所以关键证明①切平面Π与z轴不平行，这里很显然；②过C作垂直于xOy坐标面的投影柱面是平面。