固定翼飞行器动力学分析

前言：固定翼飞行器相对多旋翼飞行器具有载荷大、航程远等特性，在B端、C端、M端皆占大半江山。此次新年之际，笔者亲手搭建了一台性价比较高的“冲浪者”，并且尝试一下午就成功使用日本手首飞成功，有些玩航模的朋友夸俺天赋好😆但这其实离不开笔者在上手之前学习的固定翼相关空气动力学，所以个人认为很有必要记录一下，以便日后其他小伙伴借鉴快速入门

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为了方便分析，一般取机翼的切面形状进行空气动力学计算，即翼型。

下图为几种常见的翼型，在不同用途的飞行器上有着各自的优势，具体我们留到下方常见翼型特性一节讲解分析。

笔者玩的冲浪者主机翼显然采用的是超临界型翼型设计，下图展示的为将机翼拆下后翅根处的截面。（都这么努力了😁是不是要扫描文末的二维码请咖啡呀☕）

接下来，对翼型进行理论分析，介绍各项重要参数以及升力计算方法。图中，贯穿中央的水平实直线名为展弦；还有一根从前缘到后缘，贯穿内切圆圆心的虚线名为中弧线；翼型的上包实线名为上弧线；翼型的下包实线名为下弧线；其他关键机械设计参数皆标于图上。

设计参数可引出以下参数：

还有一个重要的实时参数名为迎角，如下图所示为吹来的气流与机翼的夹角，该参数有正负，一般取翼弦方向为0。正如接下来的计算过程展现的，该参数将极大地影响飞机的升力，并且飞行时大多数工作于正迎角状态。

我们将使用到最简单的伯努利原理：

$$p_1+\frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho gh_1 = p_2+\frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho gh_2$$

NOTE⚠：伯努利方程只能用在粘度忽略、不可压缩的理想流体，所以基于此的分析只能用在低速飞行，超声速飞行后面专门讲解

由于机翼一般较薄，所以如上图所示的流管，在远处来流与翼上切面有关系：$$p_\infty + \frac{1}{2} \rho_\infty v^2_\infty = p +\frac{1}{2} \rho v^2$$

整理：

$$p-p_\infty = \frac 12 \rho_\infty v^2_\infty - \frac{1}{2} \rho v^2\\\frac{p-p_\infty}{\frac 12 \rho_\infty v^2_\infty} = 1-\frac{\rho v^2}{\rho_\infty v^2_\infty}$$

低速飞行时，密度变化不明显；且根据连续性方程。得到压力系数表示：$$\because \rho \simeq \rho_\infty , v_\infty \cdot S_\infty = v \cdot S\\\therefore \overline{p} = \frac{p-p_\infty}{\frac 12 \rho_\infty v^2_\infty} \simeq 1-\frac{v^2}{v^2_\infty} = 1-(\frac{S_\infty}{S})^2$$

重要结论：压力系数只与流管切面积有关，而流管的情况可以通过烟线风洞实验获知。

则此时可以将机翼上表面需要求解的点的压力表示为：

$$p_{上} = p_\infty + \frac12 \rho v^2_\infty\overline{p}_{上}$$

下表面表示为：

$$p_{下} = p_\infty + \frac12 \rho v^2_\infty\overline{p}_{下}$$

则某个翼型受升力为：

$$L(b) = \int_0^{c_w} ( p_{下} - p_{上}) \cdot dx= \int_0^{c_w} \frac12 \rho v^2_\infty ( \overline{p} _{下} - \overline{p} _{上} ) \cdot dx$$

那么想要得到整个机翼受到的升力，在沿翼展方向（垂直于翼型）作积分即可：

$$F = \int_0^{b_w} L(b) \cdot dy = \int_0^{b_w} \int_0^{c_w} \frac12 \rho v^2_\infty ( \overline{p} _{下} - \overline{p} _{上}) \cdot dx \cdot dy$$

总结一下：要设计出一个好的机翼，首先要先搞到每个点的压力系数，然后作二维积分；还有：

上面算的升力公式要作二维积分，对下图所示的各种奇怪形状的机翼来说简直是计算灾难。

在简化计算之前，先介绍几个用来定义机翼平面形状的参数：

有了平均空气动力弦，原本升力公式就可以简化为：

$$F = \frac12 \rho v^2_\infty c_A \int_0^{c_w} ( \overline{p} _{下} - \overline{p} _{上}) \cdot dx\\\overset{\overline{x}=\frac{x}{c_w}}{=}\frac12 \rho v^2_\infty c_A c_w \int_0^{1} ( \overline{p} _{下} - \overline{p} _{上}) \cdot d\overline{x}$$

所以我们提出升力系数：

$$C_L = \int_0^{1} ( \overline{p} _{下} - \overline{p} _{上}) \cdot d\overline{x}$$

再用等效机翼面积替换$c_A c_w$，得到：

$$F = C_L \cdot \frac{1}{2} \rho v^2_\infty S$$

这样嘞，就可以为移植机翼提供一个参考了。比如同一款机翼，缩放后升力系数是一样的。并且，我们可以测定绘制出下图所示的升力系数随迎角变化的规律，$\delta$是襟翼角度。

这里注意几个一般性原则：

还有几个关键的参数：

所以，失速迎角就是临界迎角。

如下图所示，机翼正常工作时，下表面的压力大于上表面的压力，所以气流会绕过翼尖流到上表面，形成了翼尖涡流。

下图所示，是大型客机降落时产生的涡流。所以机场的飞机起飞和降落时，机与机之间需要等待一段时间，直至上一架产生的涡流衰减至不影响安全飞行。

同样的，冲浪者的机翼设计也是充分考虑到了翼尖涡流，做成两边翘起的形状，这样可以较好地减小涡流作用带来的诱导阻力。

冲浪者的主机翼控制较为简单，只有靠近翅膀端点处的副翼（提供横滚控制）。而复杂的现代飞行器，如下图一般由副翼、襟翼、扰流板等构成。

为了提供较大的横滚力矩（$\vec T = \vec F\times \vec l$），所以副翼一般设置在靠近主机翼外侧；而襟翼（下图所示各种常见结构）是为了在降落或起飞时提供大的升力，而又不产生影响稳定性的力矩，所以一般靠近内部；扰流板从结构上来看，方向与襟翼相反，所以在降落的时候打开，可以抵消大量升力，同时又提供了大量阻力，使得减速更快。

推荐一个软件：profili，这里面有很多大组织开源的翼型参考设计。

这玩意我也还在琢磨中，因为论文上说超临界翼型超声速性能更好（激波少），但是冲浪者是属于滑翔机类型，所以笔者后续边玩边学，搞清楚了再写哈😄

在开始之前，我们先补充一下常规飞机的尾部控制结构，如下图分别是：

如下图所示，当升降舵向下偏转时，产生向上的升力，此时相对飞机的重心来说提供的力矩使飞机低头；当升降舵向上时，同理受力，飞机抬头。这里注意，左右升降舵是同向运动的（如果左右平尾升力不同，会给飞机一个横滚力矩，并且是多少会出现的）。

下图所示是方向舵工作原理，舵面左偏（从机身后向前看）则垂尾压力向右，到飞机的重心产生的力矩使飞机整体向左转；同理，舵面右偏，飞机右转。

横滚舵，就是主机翼的副翼，之前已经说过原理不再赘述。需要值得一提的是，根据网友经验以及笔者亲测，对于冲浪者这类飞行器来说，打方向舵效果在低速的时候转向效果不明显，如果需要大幅度地回旋，建议采用：

为了不误人子弟，研究透了再补充这一部分。并且玩航模一般也玩不到声速吧