线性调频脉冲模糊函数公式较为详细推导

这里我们采用的《雷达系统分析与设计》书籍中关于线性调频脉冲的波形数学定义：

为了方便后面信号模糊函数的推导可以写出式(1)的复包络，即线性调频脉冲的复包络形式：

矩形脉冲的定义如下：

在不同的书籍中，会应用到不同的模糊函数定义。 从分辨角度出发的模糊函数（正型模糊函数）：

线性调频脉冲的正型模糊函数：

从匹配滤波器输出得到的模糊函数（负型模糊函数）：

线性调频脉冲的负型模糊函数：

这篇文章的重点就是如何从式(4)推导式(5)，式(6)推导式(7)。

由于模糊函数具有对称性，因此我们推导出 τ > 0 \tau>0 τ>0的模糊函数，即可写出完整的模糊函数形式，下方负型模糊函数的推导同理，因此我们这里只推导 τ > 0 \tau>0 τ>0的情况，读者若感兴趣可以根据下方的推导过程写出 τ < 0 \tau0 τ>0:

标号解释 ①积分上下限的选择 注意，我们计算的两个脉冲波形的积分结果，脉冲是有一定宽度的波形，显然我们只需要计算两个波形幅值同时不为0的积分即可，由下图可知 τ > 0 \tau>0 τ>0时积分限的选取:

因此当 τ > 0 \tau>0 τ>0时，有效积分区间为 [ − τ 0 / 2 , τ 0 / 2 − τ ] [-\tau_0/2,\tau_0/2-\tau] [−τ0​/2,τ0​/2−τ]，其实也可以将 ∣ t + τ ∣ |t+\tau| ∣t+τ∣带入式(3)矩形脉冲的定义，也可以推导出来，此处不再赘述，通过图片理解更清晰。请大家思考，若此时 τ < 0 \tau0 τ>0矩形脉冲的模糊函数的推导已经结束。

关于 τ < 0 \tau0:

标号解释 ①积分上下限的选择 注意，我们计算的两个脉冲波形的积分结果，脉冲是有一定宽度的波形，显然我们只需要计算两个波形幅值同时不为0的积分即可，与正型模糊函数的积分限选取不同，负型模糊函数的积分限存在一定的变化，主要区别就是 + τ +\tau +τ，还是 − τ -\tau −τ，具体细节可亲自将时延带入式(3)中的区间中获得，由下图可知负型模糊函数 τ > 0 \tau>0 τ>0时积分限的选取:

因此当 τ > 0 \tau>0 τ>0时，有效积分区间为 [ − τ 0 / 2 + τ , τ 0 / 2 ] [-\tau_0/2+\tau,\tau_0/2] [−τ0​/2+τ,τ0​/2]，其实也可以将 ∣ t − τ ∣ |t-\tau| ∣t−τ∣带入式(3)矩形脉冲的定义，也可以推导出来，此处不再赘述，通过图片理解更清晰。请大家思考，若此时 τ < 0 \tau0 τ>0矩形脉冲的模糊函数的推导已经结束。

关于 τ < 0 \tau