韦达定理

设关于 $x$ 的一元二次方程 \[ax^2+bx+c=0\quad (a\neq0)\] 的两根为 $x_1$, $x_2$, 则由因式分解知识可知, 该方程必可变形为 \[(x-x_1)(x-x_2)=0.\] 将前者改写为 \[x^2+ \frac{b}a x+ \frac{c}{a}=0,\] 并将后者展开, \[x^2- (x_1+x_2)x+ x_1x_2=0,\] 对比可知 \[\left\{\!\!\begin{array}{l} x_1+x_2= -\dfrac{b}a,\\ x_1x_2= \dfrac{c}a, \end{array}\right.\] 上述结论称为韦达 (Veite, 法国数学家) 定理, 也称为根与系数的关系定理.

利用上面的方法可以得到一元三次方程的韦达定理 (根与系数的关系). 例如, 关于 $x$ 的三次方程 \[ ax^3+bx^2+cx+d=0\quad (a\neq 0)\] 的三根为 $x_1$, $x_2$, $x_3$, 等价于该方程必可变形为 \[ (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=0,\] 再展开后与原方程对比系数, 可知 \[ \left\{\!\!\begin{array}{l} x_1+x_2+x_3= -\dfrac{b}a,\\[6pt] x_1x_2+ x_2x_3+ x_3x_1= \dfrac{c}a,\\[6pt] x_1x_2x_3= -\dfrac{d}a. \end{array}\right.\] 更一般的一元 $n$ 次方程的韦达定理也可以同理得出.

也可以直接用 求根公式 来验证韦达定理: 由 \[ x_{1,2}= \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\] 直接计算可得结论.

需要注意的是, 韦达定理中并未假设方程的根为实根, 也即无论方程是否有实根, 韦达定理都成立. 例如, 二次方程 $x^2+x+1=0$ 的判别式 $\Delta=-3必须额外写出 $\Delta\geqslant 0$.

设方程 $x^2-3x-2=0$ 的两个实根为 $x_1$, $x_2$, 求下列各式的值: \[x_1x_2,\quad x_1^2+x_2^2,\quad\dfrac1{x_1}+\dfrac1{x_2}.\]

此方程的判别式 \[\Delta= (-3)^2-4(-2)= 17>0,\] 所以确实有两个实根. 由韦达定理, \[\left\{\!\!\begin{array}{l} x_1+x_2= 3,\\ x_1x_2= -2, \end{array}\right.\] 则 \[\begin{gathered} x_1^2+x_2^2= (x_1+x_2)^2- 2x_1x_2= 13,\\ \dfrac1{x_1}+\dfrac1{x_2}= \frac{x_1+x_2}{x_1x_2}= -\frac32. \end{gathered}\]

(1) 上例中要求值的式子均为关于 $x_1,x_2$ 的对称式, 即将 $x_1,x_2$ 互换位置之后, 新式与原式相同. 类似的还有, \[ x_1^3+x_2^3,\quad \frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_2},\] 等等. 可以证明, 关于 $x_1,x_2$ 的对称式一定能用 $x_1+x_2$ 和 $x_1x_2$ 表示. 所以 $x_1+x_2$ 和 $x_1x_2$ 也称为关于 $x_1,x_2$ 的基本对称式.

(2) 解韦达定理相关问题时, 常用到完全平方公式及其变形, 如 \[\begin{aligned} a^2+b^2&= (a+b)^2-2ab\\ &= (a-b)^2+2ab,\\ (a+b)^2&= (a-b)^2+4ab,\\ ab&= \frac14[(a+b)^2- (a-b)^2]. \end{aligned}\] 上述公式均应熟记.

若关于 $x$ 的方程 \[ x^2- (2m^2+m-6)x+ m-2=0\] 的两个实根互为相反数, 求 $m$ 的值.

设两实根为 $x_1$, $x_2$, 则 \[\left\{\!\!\begin{array}{l} x_1+x_2= 2m^2+m-6= 0,\\ \Delta= [-(2m^2+m-6)]^2- 4(m-2)\\ \phantom{\Delta}= -4(m-2)\geqslant 0. \end{array}\right.\] 由前一个方程解得 $m= \dfrac32$ 或 $-2$, 由后一个不等式解得 $m\leqslant 2$, 所以前述两个 $m$ 值均合题意.

(1) 若关于 $x$ 的方程 $x^2+4x+m= 0$ 的两个实根 $x_1,x_2$ 满足 $|x_1- x_2|= 2$, 求 $m$ 的值;

(2) 若关于 $x$ 的方程 \[ x^2+ (k^2-1)x+ k= 0\] 的两个实根互为相反数, 求 $k$ 的值.

(1) (简解) 利用 \[ |x_1- x_2|^2= (x_1+x_2)^2- 4x_1 x_2\] 和韦达定理可知, $4= 4^2- 4m$, 则 $m=3$, 此时 $\Delta= 4>0$, 符合题意;

(2) (简解) 由两实根互为相反数和韦达定理知, $k^2-1= 0$, 则 $k= \pm1$, 再检验判别式知, $k=-1$.

对关于 $x$ 的二次方程 $x^2+Bx+C=0$ (二次项系数为 $1$) 的两根 $x_1, x_2$, 韦达定理的结论比较简洁: \[ x_1+x_2= -B,\quad x_1x_2= C.\] 因为以 $x_1,x_2$ 为根的二次方程必可化为 \[ (x-x_1)(x-x_2)=0,\] 即 \[ x^2- (x_1+x_2)x+ x_1x_2=0,\] 所以用韦达定理可以由两根之和与积写出对应的二次方程. 例如, 若二次方程的两根 $x_1, x_2$ 满足 \[ x_1+x_2= 3,\quad x_1x_2= 1,\] 则原方程必可化为 $x^2- 3x+ 1=0$.

设方程 $x^2-3x-2=0$ 的两个实根为 $x_1$, $x_2$, 求以下列各组数为两根的一元二次方程:

(1) $x_1^2$, $x_2^2$;  (2) $\dfrac1{x_1}$, $\dfrac1{x_2}$.

由前面的说明, 只需要分别计算两根之和与积. 由韦达定理, \[\left\{\!\!\begin{array}{l} x_1+x_2= 3,\\ x_1x_2= -2, \end{array}\right.\]

(1) 借用 例 1 的结论, \[\left\{\!\!\begin{array}{l} x_1^2+x_2^2= 13,\\ x_1^2x_2^2= 4, \end{array}\right.\] 故所求方程为 $x^2- 13x+4=0$.

(2) 同理, \[\left\{\!\!\begin{array}{l} \dfrac1{x_1}+\dfrac1{x_2}= -\dfrac32,\\ \dfrac1{x_1}\cdot\dfrac1{x_2}= -\dfrac12, \end{array}\right.\] 故所求方程为 \[x^2+\dfrac32x-\dfrac12=0,\quad\text{即}\quad 2x^2+3x-1=0.\]

上例中 (2) 还有更简洁的解法. 考虑 $\dfrac1{x_1}$, $\dfrac1{x_2}$ 的形式可知, 若 $x$ 为所求一元二次方程的根, 则 $\dfrac1x$ 为原方程的根. 所以 $x$ 满足 \[\frac1{x^2}-\frac3x-2=0,\quad\text{即}\quad 2x^2+3x-1=0.\]

求一个一元二次方程, 使它的两根分别是方程 $x^2-7x-1= 0$ 各根的相反数.

$x^2+7x-1=0$.