线性代数学习笔记（二十八）

本篇笔记通过回顾线性方程组解的判定，引出并讨论了齐次线性方程组解的情况；然后通过上一章节的定理总结出几个推论并做了一定的讨论；最后通过求齐次线性方程组的例子来判断向量组的相关性，同时求解一组相关系数。

前面讨论的线性方程组，其矩阵方程形式为 A X = B AX=B AX=B或向量方程形式为 x 1 α 1 + x 2 α 2 + ⋯ + x n α n = β x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_n\alpha_n=\beta x1​α1​+x2​α2​+⋯+xn​αn​=β，该方程组有解的判定为，

{ r ( A ) = r ( A ‾ ) 有解 { = n 有唯一解 < n 有无穷多解 r ( A ) ≠ r ( A ‾ ) 无解 \begin{cases}r(A)=r(\overline{A})&有解\begin{cases}=n&有唯一解\\x1​+x2​+x3​=0x1​−x2​−x3​=0​，一定有非零解。

将上述方程组写成向量形式， x 1 ( 1 1 ) + x 2 ( 1 − 1 ) + x 3 ( 1 − 1 ) = O x_1\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}=O x1​(11​)+x2​(1−1​)+x3​(1−1​)=O， 即， x 1 α 1 + x 2 α 2 + x 3 α 3 = O x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+x_3\alpha_3=O x1​α1​+x2​α2​+x3​α3​=O，

因为上述齐次线性方程组有非零解，也就是说 x 1 , x 2 , x 3 x_1,x_2,x_3 x1​,x2​,x3​不全为 0 0 0， 那说明向量组 α 1 , α 2 , α 3 \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 α1​,α2​,α3​线性相关， 也即是齐次线性方程组有非零解，对应于向量组线性相关。

我们在之前的章节（线性代数学习笔记（二十三）——线性相关线性无关 推论3.2.1）讨论过，一个向量组，当向量的个数大于向量的维数时，该向量组一定线性相关。 特别地， n + 1 n+1 n+1个 n n n维向量一定线性相关。

上述向量组是 3 3 3个 2 2 2维向量，所以一定线性相关，即相关系数不全为 0 0 0，故上述齐次线性方程组有非零解。

④ m = n m=n m=n有非零解 ⟺ ∣ A ∣ = 0 \Longleftrightarrow|A|=0 ⟺∣A∣=0。 根据②可知，有非零解，所以 r ( A ) < n r(A)