微分方程、动力系统与混沌导论 第8章 非线性系统的平衡点[书摘]

第8章 非线性系统的平衡点

      为了为避免出现上一章遇到的一些技术性困难，从现在起，除非特别申明，总假设我们的微分方程为$C^\infty$的。这意味着，对所有的$k$，微分方程的右端都是$k$次连续可向的。这至少可以保证我们定理中的假设条件是最少的。

      我们已经看到，写出非线性微分方程系统的显式解往往是不可能的。当我们有平衡解时则是一个例外。常常，对于一些特定的非线性系统，这些就是它们最重要的解。更重要的是，在已经有了有关线性系统的大量工作后，我们通常可以利用线性化的技巧，在确定平衡点附近的解行为。在本章我们将详细地描述这一过程。

8.1 一些用作说明的例子

      在本节，我们考虑几个微分方程的平面非线性系统，原点都是它们的平衡点。我们的目的是看出非线性系统在原点附近的解与它们的线性化系统的解是相似的，至少在某些情形下是如此。

      作为第一个例子，考虑系统

\[\begin{align} x' &= x+y^2 \\ y' &= -y. \end{align}\]

它令有一个位于原点的平衡解。为了画出附近的解，我们注意到，如果$y$很小，则$y^2$就更小。于是至少在原点附近，微分方程$x'= x+y^2$与$x' = x$非常接近。在7.4节中，我们已经证明了这个系统的流在原点附近与它的线性化系统$\boldsymbol X' =\boldsymbol D\boldsymbol F_0\boldsymbol X$的流很“接近”。由此想到，我们可以不考虑线性化系统，而是考虑简单地扔掉高阶菲后的系统

\[\begin{align} x' &= x \\ y' &= -y. \end{align}\]

显然，我们可以立刻解出这个系统。于是我们得到在原点的一个鞍点，它的稳定线为$y$轴，而不稳定线为$x$轴。

      现在让我们回到原来的非线性系统。很幸运，我们也可以将这个系统显式地解出来。从第二个方程$y'=-y$可得$y(t) = y_0e^{-t}$，将它代入第一个方程，可得

\[x' = x + y_0^2e^{-2t}.\]

这是一个一阶非自治方程，像微积分中一样，我们“猜”它有一个形如$ce^{-2t}$的特解，这样就可以确定它的解。事实上，将猜测的这个形式代入方程就可以得到一个特解：

\[x(t) = \frac{-1}{3}y_0^2e^{-2t}.\]

于是，很容易验证，任何如下形式的函数

\[x(t) =ce^t - \frac{1}{3}y_0^2e^{-2t}\]

都是方程的一个解。从而原系统的通解为

\[\begin{align} x(t) &= \Bigg(x_0 + \frac{1}{3}y_0^2 \Bigg)e^t - \frac{1}{3}y_0^2e^{-2t} \\ y(t) &= e_0e^{-t}{-t}.\end{align}\]

      如果$y_0 = 0$，我们可找到一个直线解$x(t) = x_0e^t,y(t) = 0$，这与线性情形的解是相同的。然而，与线性情形不同的是，$y$轴不再是趋于原点的一个解。事实上，沿$y$轴的向量场为$(y^2,-y)$，它与$y$轴不相切，其实，所有的非零向量都是指向该坐标轴的右侧。

      另一方面，有一条过原点的曲线，上面的解都趋向于(0,0)。考虑$\mathbb R^2$中的曲线$x+\frac{1}{3}y^2  = 0$。假设$(x_0,y_0$在这条曲线上，令$(x(t),y(t))$是满足这个初始条件的解。由于$x_0+\frac{1}{3}y_0^2  = 0$，这个解就是

\[\begin{align} x(t) &= - \frac{1}{3}y_0^2e^{-2t} \\ y(t) &= e_0e^{-t}{-t}.\end{align}\]

注意，对于所有的$t$，我们都有$x(t) + \frac{1}{3}(y(t))^2 = 0$，从而对所有的时间，这个解都停留在曲线上。而且，当$t \to \infty$时，这个解趋于平衡点。这样，我们就找到了过原点的一条稳定曲线，它上面的所有解都趋于(0,0)。注意，这条曲线在原点与$y$轴相切(见图8.1)。

      我们能否真的“扔掉”系统的非线性项呢？下面我们将看到，这个问题的回答是：得看情况。然而，在现在的情形，这样做是完全合法的，这是因为我们能找到一个变量替换(如果这各替换是连续的，能否看成是一种共轭呢？)将原来的系统真的转化成它的线性系统。

      为了说明这一点，我们引入新的变量$u,v$如下

\[\begin{align} y &= x + \frac{1}{3}y^2 \\ v &= y. \end{align}.\]

则在新坐标下，系统变成

\[\begin{align} u' &= x' + \frac{2}{3}yy' = x + \frac{1}{3}y^2 = u \\ v' &= y' = -y = -v. \end{align}\]

即，非线性变量替换$F(x,y) = \Bigg(x+\frac{1}{3}y^2,y \Bigg)$将原来的非线性系统转化(这一转化，能否看成是一种共轭呢？)成了一个线性系统，事实上，就是上面的线性化系统。

例  一般地，像上例那样将一个非线性系统转换成一个线性系统是不可能的，这是因为非线性项几乎总是会对系统在远离原点(系统的平衡点)的地方产生巨大的改变。例如，考虑非线性系统

\[\begin{align} x' &= \frac{1}{2}x-y - \frac{1}{2}(x^3 + y^2x) \\ y' &=x + \frac{1}{2}y - \frac{1}{2}(y^3 + x^2y). \end{align}\]

我们在原点处仍然有一个平衡点。现在的线性化系统为

\[\boldsymbol X' = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -1 \\ 1 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \boldsymbol X,\]

其特征值为$\frac{1}{2} \pm \text i$。容易验证，这个线性系统的所有解都按反时针方向盘旋地远离原点，且趋于$\infty$。

      求解上面的非线性系统看起来很困难。然而，如果换成极坐标，方程会变得非常简单。通过计算可得

\[\begin{align} r'\cos \theta - r(\sin \theta )\theta ' &= x' = \frac{1}{2}(r - {r^3})\cos \theta - r\sin \theta \\ r'\sin \theta + r(\cos \theta )\theta ' &= y' = \frac{1}{2}(r - {r^3})\sin \theta + r\cos \theta , \end{align}\]

在上面的式子中比较$\cos \theta$和$\sin \theta$的系数可得

\[\begin{align} r' &= r(1-r^2)/2 \\ \theta ' &= 1. \end{align} \]

      由于去掉了方程的耦合，现在我们可将系统显式地解出。为了做得更好些，我们将以一种更几何化的方式进行。从方程$\theta ' =1$可得，所有的非零解都绕着原点逆时针方程盘旋。从每一个方程可以看出，解并不会盘旋地趋于$\infty$。事实上，当$r = 1$时，我们有$r' = 0$，于是所有从单位圆周上出发的解永远逗留在那里，而且沿圆周作周期运动。由于当$00$，因而所有的解都向右边运动；此时，平衡点不见了。当$a0$时，$\theta' >0$，从而此时方程没有其它的平衡点。当$a=0$时，将多出2个平衡点，它们分别是位于$(r,\theta) = (1,0)$和$(r,\theta) = (1,\pi)$。当$-1 < a 0$时，如果$r=\sqrt a$，则$r'=0$，从而半径为$\sqrt a$的圆周是一个周期为$2\pi$的周期解。此时，我们还有，如果$0