余弦定理

2024-03-27 12:06| 来源: 网络整理| 查看: 265

余弦定理

余弦定理对解三角形是非常有用的：

这定理适用于任何三角形：

a、b 和 c 是三角形的边。

C 边 c 的对角

我们举个例来看看：

例子："c" 的长度是多少？

已知： C = 37º、a = 8 和 b = 11

余弦定理说： c2 = a2 + b2 − 2ab cos(C) 代入已知值： c2 = 82 + 112 − 2 × 8 × 11 × cos(37º) 计算： c2 = 64 + 121 − 176 × 0.798… 计算： c2 = 44.44... 开平方： c = √44.44 = 6.67 保留两位小数

答案：c = 6.67

怎样记

怎样去记这公式呢？

公式其实是在勾股定理上多加一点，使其适用于所有的三角形：

勾股定理： a2 + b2 = c2 （只适用于直角三角形）余弦定理: a2 + b2 − 2ab cos(C) = c2 （适用于所有三角形）

这样记：

想英语字母 "abc"：a2 + b2 = c2, 再来一个 "abc"： 2ab cos(C), 放在一起：a2 + b2 − 2ab cos(C) = c2 什么时候用

在以下的情形，我们可以用余弦定理：

已知三角形的两边和两边中间的夹角，求第三边（像上面的例子）已知三角形的三边，求其角度（如以下的例子）例子：角 "C" 是多大？

长度为 "8" 的边的对角是 C，所以这边是 c。另外两条边是 a 和 b。

把已知值代入余弦定理：:

开始： c2 = a2 + b2 − 2ab cos(C) 代入 a、b 和 c： 82 = 92 + 52 − 2 × 9 × 5 × cos(C) Calculate: 64 = 81 + 25 − 90 × cos(C) 重排及解: 每边减 25： 39 = 81 − 90 × cos(C) 每边减 81： −42 = −90 × cos(C) 两边对调： −90 × cos(C) = −42 除以 −90： cos(C) = 42/90 取逆余弦： C = cos-1(42/90) 用计算器： C = 62.2° （保留一位小数）其他形式求角度的简易形式

上面我们看到已知三边是怎样去求角度。我们用了几步来做，但其实用 "直接" 公式会比较简单（公式只不过是重排这公式： c2 = a2 + b2 − 2ab cos(C) ）。公式可以有三个形式：

cos(C) = a2 + b2 − c2 2ab

cos(A) = b2 + c2 − a2 2bc

cos(B) = c2 + a2 − b2 2ca

例子：用余弦定理（角度形式）来求角 "C"

已知三边：

a = 8, b = 6 和 c = 7。

用余弦定理（角度形式）来求角 C：

cos C = (a2 + b2 − c2)/2ab = (82 + 62 − 72)/2×8×6 = (64 + 36 − 49)/96 = 51/96 = 0.53125 C = cos-1(0.53125) = 57.9° 保留一位小数

a、b 和 c 的形式

你也可以重写 c2 = a2 + b2 - 2ab cos(C) 公式为 "a2=" and "b2=" 的形式。

以下是这三个形式：

但最容易是记着 "c2=" 的形式，然后在应用时用不同的字母！

如下：

例子：求长度 "z"

字母不同！没关系。我们可以以 x 代替 a、y 代替 b 和 z 代替 c

开始： c2 = a2 + b2 − 2ab cos(C) x 代替 a、y 代替 b 和 z 代替 c z2 = x2 + y2 − 2xy cos(Z) 代入已知值： z2 = 9.42 + 6.52 − 2×9.4×6.5×cos(131º) 计算： z2 = 88.36 + 42.25 − 122.2 × (−0.656...) z2 = 130.61 + 80.17…… z2 = 210.78…… z = √210.78…… = 14.5 保留一位小数。

答案：z = 14.5

留意到 cos(131º) 是负数吗？这把最后的正负号变成 +（正）号了。钝角的余弦一定是负数（见单位圆）。

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