动能定理公式推导

动能定理(Kinetic Energy Theorem)的由来与人们所定义的概念有关。 以其说其为定量，不如说是一个人为定义的表达式。

力F沿S做的功能可以写成

W = ∫ F   d S W = \int F\, dS W=∫FdS

那W随时间的变化函数自然可以写成：

W ( t ) = ∫ F ( t )   d S ( t ) W(t) = \int F(t)\, dS(t) W(t)=∫F(t)dS(t)

下面的把这个表示式再进行演化：

W ( t ) = ∫ F ( t ) ⋅ S ′ ( t )   d t = ∫ F ( t ) ⋅ V ( t )   d t W(t) = \int F(t) \cdot S'(t)\, dt = \int F(t) \cdot V(t)\, dt W(t)=∫F(t)⋅S′(t)dt=∫F(t)⋅V(t)dt

根据 F = a m F=am F=am,所以： W ( t ) = ∫ m ⋅ a ( t ) ⋅ V ( t )   d t W(t) = \int m \cdot a(t) \cdot V(t)\, dt W(t)=∫m⋅a(t)⋅V(t)dt

= m ∫ a ( t ) ⋅ V ( t )   d t = m \int a(t) \cdot V(t)\, dt =m∫a(t)⋅V(t)dt

= m ∫ V ( t ) ⋅ a ( t )   d t = m \int V(t) \cdot a(t) \, dt =m∫V(t)⋅a(t)dt

= m ∫ V ( t )   d V ( t ) = m \int V(t) \, dV(t) =m∫V(t)dV(t)

= m V ( t ) 2 2 = m\frac{V(t)^{2}}{2} =m2V(t)2​

所以动能公式为：

E = m V 2 2 E = m\frac{V^{2}}{2} E=m2V2​