经济学：微观计算题

2024-07-03 22:38| 来源: 网络整理| 查看: 265

公式 Q:需求P:价格C:成本M:边际T:总和R:利润W:供给价格弹性：需求变动率/价格变动率需求价格弹性：平均需求变动率/平均价格变动率生产函数： $\frac{MP_{L}}{P_{L}}=\frac{MP_{K}}{P_{K}}$ ，MP=dQ成本函数：MP=MC=P=dSC需求函数：MR=dPQ =MC=dC供给函数: MC*L= dW = MP*P 边际产量收入=边际产量*边际收入,即VMP=MP*P二元一次方程： $\frac{-(b)\pm \sqrt{b^{2}-4*a*c})}{2*a}$ 最大效用公式： $\frac{X}{P_{Y}} = \frac{Y}{P_{X}}$ 题1-收入点弹性：

假定某消费者关于某种商品的消费数量 Q 与收入 M 之间的函数关系为 M=100Q²

求：当收入 M=2500 时的需求的收入点弹性为多少？

解：

已知M = 100Q²，M =2500求100Q² = 2500,Q²= 25, 所以Q=5.点弹性公式： $E_{M}$ = $\frac{\frac{dQ}{Q}}{\frac{dM}{M}}$ = $\frac{dQ}{dM}$ * $\frac{M}{Q}$ 因此Q² = $\frac{M}{100}$ ，所以 Q = $\frac{\sqrt{M}}{10}$ = $\frac{M^{\frac{1}{2}}}{10}$ dM=1, M=2500,所以 $\frac{dQ}{dM}$ = dQ/1 = dQ = $\frac{1}{2}*\frac{M^{\frac{1}{2}-1}}{10}$ = $\frac{M^{-\frac{1}{2}}}{2*10}$ $M^{-\frac{1}{2}}$ = $\frac{1}{\sqrt{M}}$ , 所以 $\frac{M^{-\frac{1}{2}}}{2*10}$ = $\frac{1}{20\sqrt{M}}$ = $\frac{1}{20\sqrt{2500}}$ = 1/ 20*50 = 0.001 $E_{M}$ = $\frac{dQ}{dM}$ * $\frac{M}{Q}$ = 0.001 * 2500/5 = 0.5

题：点价格弹性

某垄断企业的总成本函数为TC=50Q+Q²，收入函数TR=90Q-3Q²，问该垄断企业利润达到最大时，需求曲线上的点价格弹性是多少？

解：

利润最大化：MR=MCMR = dTR = d(90Q - 3Q²) = 90 - 6QMC = dTC = d(50Q + Q²²) = 50 + 2Q90 - 6Q = 50 + 2Q， Q = 5因为TR = P*Q ，P = TR / Q = (90Q-3Q²)/Q = 90 - 3Q = 90 - 15 = 75???价格点弹性Ep = dQ/dP * P/Q = ？？？ * 75/15 = * 5 = 点弹性公式:MR=P(1+1/Ep) ,Ep = P/(MR - P) = P/(90 - 6Q - P) = 75/(90-30 -75) = 75/-15 = -5

题2-交叉价格弹性：

假定在某市场上 A、B 两厂商是生产同种有差异的产品的竞争者；该市场对 A 厂商的需求曲线为 $P_{A}$ =200- $Q_{A}$ ，对 B 厂商的需求曲线为 $P_{B}$ =300-0.5 $Q_{B}$ ；两厂商目前的销售量分别为 $Q_{A}$ =50， $Q_{B}$ =100 。求：

（1）A、B 两厂商的需求价格弹性 $E_{A}$ 和 $E_{B}$ 各是多少？

（2）如果 B 厂商降价后，使得 B 厂商的需求量增加为 $Q_{B}$ ＝160，同时使竞争对手 A 厂商的需求量减少为 $Q_{A}$ ＝40 。那么，A 厂商对 B 厂商的需求交叉价格弹性 $E_{AB}$ 是多少？

（1）解：

已知 $P_{A}$ =200- $Q_{A}$ ， $Q_{A}$ =50

所以 $P_{A}$ = 200 - 50 = 150

已知 $P_{A}$ =200- $Q_{A}$ ，所以 $Q_{A}$ = 200 - $P_{A}$

d $Q_{A}$ = -1 ，d $P_{A}$ = 1 $E_{A}$ = $\frac{dQ}{dP}$ * $\frac{P}{Q}$ = -1 * 150/50 = -3

已知 $P_{B}$ =300-0.5 $Q_{B}$ ，所以 $Q_{B}$ = 600 -2 $P_{B}$ ，其中 $Q_{B}$ = 100

所以 $P_{B}$ = 300- 50 = 250

d $Q_{B}$ = -2 ，d $P_{B}$ = 1

$E_{B}$ = $\frac{dQ}{dP}$ * $\frac{P}{Q}$ = -2 * 250/100 = - 5

（2）解：

需求交叉价格弹性 $E_{AB}$ = $\frac{\Delta Q_{A}}{Q_{A}}/\frac{\Delta P_{B}}{P_{B}}$

已知 $P_{B}$ =300-0.5 $Q_{B}$ ， $Q_{B}$ ＝160

算的 $P_{B}$ = 300 - 80 =220 ，且变动前 $P_{B}$ = 300 - 50 = 250

求得B的价格差 $\Delta P_{B}$ = 250 -220 =30

B的平均价格 $P_{B}$ = （250+220）/ 2 =235

求得A的需求差 $\Delta Q_{A}$ = 50 -40 =10

A的平均需求 $Q_{A}$ = (50+40)/2 = 45

带入公式 $E_{AB}$ = $\frac{\Delta Q_{A}}{Q_{A}}/\frac{\Delta P_{B}}{P_{B}}$ = 10/45 * 235/30 = 1.74

题3-弧交叉价格弹性：

xx年,A 制衣公司的衬衫以每件 200 元的价格每月售出 9000 件,1998 年 1 月,竞争者B将衬衫的价格从 220 元降至 180 元,这个月,A 公司只售出了 8000 件衬衫.

(1)计算 A 公司衬衫与竞争者B 公司衬衫的需求的弧交叉价格弹性(假设 A 公司的衬衫价格不变)；

(2)如果 A 公司衬衫的需求价格弹性为–2.0,又设其竞争者衬衫的价格保持在 180 元的水平上,要使 A 公司的销售恢复到每月 9000 件的水平,价格要降低多少?

（1）解：

弧交叉价格弹性 $E_{AB}$ = $\frac{Q_{2}-Q_{1}}{P_{1}-P_{2}}$ * $\frac{P_{1}+P_{2}}{Q_{1}+Q_{2}}$ $Q_{1}$ = 9000, $Q_{2}$ =8000, $P_{1}$ =220 ， $P_{2}$ = 180 $E_{AB}$ = $\frac{8000-9000}{220-180}$ * $\frac{220+180}{8000+9000}$ = -1000/40 * 400/17000 = -25 * 0.0235 = 0.588

（2）解：

价格弹性Ep= -2 = 2 = $\frac{\Delta Q_{A}}{Q_{A}}/\frac{\Delta P_{A}}{P_{A}}$ 需求变动 $\Delta Q_{A}$ = 9000 - 8000 =1000平均需求 $Q_{A}$ = (9000+8000)/2 = 8500价格变动 $\Delta P_{A}$ = 200 - P 平均价格 $P_{A}$ = (200+P)/2带入公式 Ep=2 = $\frac{1000}{8500}/\frac{200-P}{(200+P)/2}$ P = 6600/35 = 188.57 题4-收益最大化：

已知某企业的生产函数为 Q = $L^{\frac{2}{3}}K^{\frac{1}{3}}$ ，劳动的价格 w=2，资本的价格 r=1。求：

（1）当成本 C=3000 时，企业实现最大产量时的 L、 K 和 Q 的均衡值。

（2）当产量 Q=800 时，企业实现最小成本时的 L、K 和 C 的均衡值。

（1）解：

收益最大化公式： $\frac{MP_{L}}{P_{L}}=\frac{MP_{K}}{P_{K}}$ ，劳动边际成本/劳动价格=资本边际成本/资本价格。因为 $MP=\frac{dQ}{dL}$ ，dQ导数，已知：Q = $L^{\frac{2}{3}}K^{\frac{1}{3}}$ 劳动边际产量：对L求导， $MP_{L} = \frac{2}{3}L^{-\frac{1}{3}}K^{\frac{1}{3}}$ 固定边际产量：对K求导 $MP_{K} = \frac{1}{3}L^{\frac{2}{3}}K^{-\frac{2}{3}}$ 因为 $P_{L}$ = w = 2， $P_{K}$ = r = 1因此 $\frac{\frac{2}{3}L^{-\frac{1}{3}}K^{\frac{1}{3}}}{2}=\frac{\frac{1}{3}L^{\frac{2}{3}}K^{-\frac{2}{3}}}{1}$ ，算的K = L因为 $C = P_{L}*L+P_{K}*K$ ，，c=3000所以3000 = 2*L+1*KK = L = 1000 Q = K = L = 1000

（2）解：

已知产品Q = 800， Q = $L^{\frac{2}{3}}K^{\frac{1}{3}}$ 因为K=L所以Q = K = LK = L = 800C = 2 * 800 + 1 * 800 = 1600+800 = 2400 题6-最大利润、均衡状态：

在完全竞争市场中的某企业，短期成本函数为 SC= $Q^{3}-6Q^{2}+30Q+40$ 。产品价格为 66 元，正常利润已包括在成本函数之中

（1）求企业最大利润以及相应的产量，此时的平均成本为多少？

（2）假设该企业是全行业的代表，这个行业是否处于均衡状态？为什么？

（1）解：

MR=MC，P=MC = 66.P = MC = dSC ，66 = 3Q²--12Q+30+0，常数倒数都为0一元二次方程: $\frac{-(b)\pm \sqrt{b^{2}-4*a*c})}{2*a}$ 0=3Q²-12Q+30-66=3Q²-12Q-36Q = $\frac{-(-12)\pm \sqrt{-12^{2}-4*3*(-36)})}{2*3}$ Q1= $\frac{12+\sqrt{-576}}{6}$ = $\frac{12-24}{6}$ =-2，数量不能为负，不成立。Q2 = $\frac{12-\sqrt{-576}}{6}$ = $\frac{12+24}{6}$ =6sc = $6^{3}-6*6^{2}+30*6+40$ = 216-216+180+40 = 220平均成本AC = 220/6 = 36.67

（2）解：

R = P*Q - SC = 66*6 - 220 = 396-220 = 176 因为R>0，MR>SC,因此行业不均衡。题7-垄断企业利润最大化：

假设垄断企业的成本函数为 50+20Q，其面对的市场需求函数为 P=100-4Q。

试求垄断企业利润最大化的产量、价格与利润。

解：

C = 50 + 20Q PQ = 100Q - 4Q²MR = d（PQ）= 100 - 8QMC = dC =d（ 50 + 20Q ） = 0+20 = 20因为MR = MC ，所以 100 - 8Q = 20 , 算得 Q = 10P = 100 - 4Q = 100- 4*10 = 100 - 40 = 60R = PQ - C = 60*10 - (50+20*10) = 600 - 250 = 350 题8-垄断企业利润最大化：

假定一垄断厂商仅使用劳动 L 去生产其产品，产品按竞争市场中固定价格 4 元出售，生产函数为 Q=3L+1.5L²-0.01L³，劳动供给函数为 W=60+3L，求利润极大时的 L、Q和 W 之值。

解：垄断利润最大化公式：MR=MCMR = dR = d(P*Q)，P = 4，已知Q = 3L + 1.5L² - 0.01L³因为MR = d(12L + 6L² - 0.04L³) = 12 + 12L - 0.12L²MC = dC = d(W*L), W = 60 + 3L所以 MC = d(60L + 6L²） = 60 + 6L因为 12 + 12L - 0.12L² = 60 + 6L解得 - 0.12L² + 6L - 48 = 0一元二次方程: $\frac{-(b)\pm \sqrt{b^{2}-4*a*c})}{2*a}$ $\frac{-(6)\pm \sqrt{6^{2}-4*(-0.12)*(-48)})}{2*(-0.12))}$ = $\frac{-6\pm \sqrt{36-23.05})}{-0.24}$ = $\frac{-6\pm 3.6}{-0.24}$ 求得L1= 9.6/0.24 = 40，或 L2 = 2.4/0.24 = 10 L1带入Q公式，Q1 = 3*40 + 1.5*40² - 0.01*40³ = 120 + 2400 - 640 = 1880L2带入Q公式，Q2 = 3*10 + 1.5*10² - 0.01*10³ = 30 + 150 - 10 = 170L1带入W公式，W1 = 60 + 3*40 = 60 + 120 = 180L2带入W公式，W2 = 60 + 3*10 = 60 + 30 = 90 题：生成函数

某厂商以劳动作为唯一的可变要素，其生产函数为 Q = -0.01L³+L²+36L，Q为厂商每日产量，L为工人的日劳动小时数。已知产品市场与生产要素市场都是完全竞争的，且产品价格为0.1元，小时工资率为4.8元。试问：厂商使用的劳动量是多少？

解：

MPPL = dQ = -0.03 L² + 2L + 36W = VMPL = P * MPPL =0.1 *（ -0.03 L² + 2L + 36） = 4.8一元二次方差求解LL = 20/3 或 L = 60厂商使用的劳动量为60 题9-最大效用：

已知某消费者每月用2400元购买 X 和 Y 商品，他的效用函数为 U = XY，X 商品的价格为20元，Y 商品的价格为30元，

（1）为获得最大效用，该消费者应该购买 X 商品和 Y 商品各为多少？

（2）求最大总效用

（1）解：

题可得二元一次方程：20X+30Y = 2400效用函数U = XY 求导可得： $MU_{X} = Y$ 和 $MU_{Y} = X$ 最大效用条件： $\frac{MU_{X}}{P_{Y}} = \frac{MU_{Y}}{P_{X}}$ ，也等于 $\frac{X}{P_{Y}} = \frac{Y}{P_{X}}$ 带入 $P_{X}$ = 20， $P_{Y}$ =30,可得 $\frac{X}{30}$ = $\frac{Y}{20}$ ，X = $\frac{30Y}{20}$ 将X带入方程求Y ，20 * $\frac{30Y}{20}$ +30Y = 2400可得 $Q_{Y}$ = 40， $Q_{X}$ = $\frac{40*30}{20}$ =60

方法二：

20X+30Y = 2400 X = 120 -1.5Y带入U=XY = (120 -1.5Y) * Y = -1.5Y² + 120Y + 0一元二次方程， $\frac{-(b)\pm \sqrt{b^{2}-4*a*c})}{2*a}$ a = -1.5 ,b= 120 ,c = 0求Y = [0 , 80] , Qy = (80+0)/2 =40Qx = 120 - 1.5*40 = 120-60 = 60

（2）解：

U = TUX +TUY = 20*60+ 40*30 = 1200+ 1200 = 2400

题2022年8月同考：

生产函数Q = 1000X+2000X²-3X³，当X为200，300，400时

求的MP和AP，分别属于什么生产阶段。解（1）：总产量TP = Q = 1000X+2000X²-3X³公式：AP = TP/L ，其中L=X，AP = （1000X+2000X²-3X³）/ X带入X=200，AP1 = 381000带入X=300，AP2 = 331000带入X=400，AP3 = 321000公式MP = dQ/dL ，其中L=X，MP = d（1000X+2000X²-3X³）求导MP = 1000 + 4000X - 9X²带入X=200，MP1 = 441000带入X=300，MP2 = 391000带入X=400，MP3 = 161000所以X=200和300时，MP>AP，平均产量是递增X=400，MP

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