调频连续波（FMCW）雷达测距、测速详解

调频连续波雷达（Frequency Modulated Continuous Wave Radar，简称FMCW雷达），是指发射频率受特定信号调制的连续波雷达。其连续发射调频信号，以测量距离、速度以及角度。FMCW雷达系统所用信号的频率随时间变化呈线性升高。这种类型的信号也称为线性调频脉冲，下面为发射单个脉冲测距和脉冲串测速的示意图。

探测目标到雷达的距离为R，雷达接收机接收信号延时为 τ \tau τ，光速为c，在忽略目标速度的情况下，则探测距离R与延时 τ \tau τ，光速c之间有如下关系： R = τ c 2 R=\frac{\tau c}{2} R=2τc​ （延时 τ \tau τ内电磁波行进了2倍的目标距离） 对于线性调频信号而言，信号带宽B与线性调频率S，信号时宽T的关系如下： B = S ∗ T B=S*T B=S∗T 对于混频得到中频信号频率f而言，有如下： f = S ∗ τ f=S*\tau f=S∗τ 继续变换，得到目标距离R和中频频率f的关系： R = f c 2 S R=\frac{fc}{2S} R=2Sfc​ 上式得到目标距离的表达式，下面对雷达的距离分辨率进行探究，在雷达距离维进行FFT，又被称为快时间的FFT，即在一个线性调频脉冲时间 T T T之内完成。为了更好的理解距离分辨率，从上式可看出，距离 R R R与 f f f有着对应关系，在距离FFT中，得到峰值正对应频率 f f f处，所以距离分辨率 Δ R \Delta R ΔR与频率的最小分辨率 Δ f \Delta f Δf相对应，有如下关系： Δ R = Δ f c 2 S \Delta R=\frac{Δfc}{2S} ΔR=2SΔfc​ 在这里利用FFT的角度来理解f的分辨率，在其他的资料里，强调在一个时宽T的范围内，频率分辨率为1/T，但是并未给出频率分辨率f的推导过程。这里在FFT的角度上进行推导，假设采样频率为 f s f_s fs​，采样的点数为 M M M，fft的点数为M1，FFT的频率分辨率 Δ f \Delta f Δf计算公式如下： Δ f = f s 1 M 1 , M = f s ∗ T Δ f = f_s \frac{1}{M1},M=f_s*T Δf=fs​M11​,M=fs​∗T (在时宽 T T T的范围内，采样点为M个，则有： M = f s ∗ T M=f_s*T M=fs​∗T) 结合上面两个公式，如果fft点数等于采样点数，即 M = M 1 M=M1 M=M1，有如下： Δ f = 1 T Δf=\frac{1}{T} Δf=T1​ 所以距离分辨率 Δ R ΔR ΔR有如下的表达式： Δ R = Δ f c 2 S = c 2 S T = c 2 B \Delta R=\frac{Δfc}{2S}=\frac{c}{2ST}=\frac{c}{2B} ΔR=2SΔfc​=2STc​=2Bc​ 如果fft点数 M 1 M1 M1不等于采样点数 M M M，则距离分辨率 Δ R ΔR ΔR为： Δ R = Δ f c 2 S = f s ∗ c 2 S ∗ M 1 = c ∗ M 2 B ∗ M 1 ΔR=\frac{Δfc}{2S}=\frac{fs*c}{2S*M1}=\frac{c*M}{2B*M1} ΔR=2SΔfc​=2S∗M1fs∗c​=2B∗M1c∗M​

上节的推导只是不考虑物体速度的特殊情况，对于FMCW雷达而言，测速功能是通过多普勒FFT功能进行实现的。FMCW雷达的测速值，可以通过相位变化量得到，连续两个脉冲之间最大的相位移动为 π \pi π，超过相移量 π \pi π就会出现测速模糊。 下面对多普勒FFT得到的速度分辨率进行推导，发射的信号为线性调频信号： s ​ ( t ) = A c o s ( 2 π ( f c ​ t + S t 2 2 ​ ) + φ 0 ​ ) s​(t)=Acos(2π(f_c​t+\frac{St^{2}}{2}​)+φ_0​) s​(t)=Acos(2π(fc​​t+2St2​​)+φ0​​) S S S为线性调频斜率， f c f_c fc​为信号的载频， φ 0 ​ φ_0​ φ0​​为信号的初始相位。上面得到的公式仅是一个脉冲时间 T T T内信号的表达式，在发射多个脉冲串的情况下，公式会有所不同。首先，第 n + 1 n+1 n+1个脉冲时间 t t t有如下的表达形式： t = t s + n T t=t_s+nT t=ts​+nT 在上式中， 0 < t s < T 0