(二十九)雷达坐标系及坐标变换知识总结

在学习雷达过程中，最重要的是几何建模和信号处理，几何模型会影响斜距的表达式，进而影响信号的形式(时延和相位)。几何建模中会涉及到坐标变换的基础知识。在实际工程和仿真中，都是非常重要的。本节将重点介绍雷达相关的坐标系定义，及其坐标变换关系，为最终的雷达回波仿真和实测数据处理打下基础。关于坐标变换的数学原理可参考。

物体的位置、角度、速度都是相对观测坐标系(地面坐标系、北天东坐标系)，角速度等相对自身坐标系。

雷达的重要作用是观测目标，通常目标运动(自身刚体运动)特性在目标坐标系中描述。坐标原点在目标质心处。如下图所示。

目标的三个姿态角偏航(Yaw)、俯仰(Pitch)和横滚(Roll)分别代表绕Z、X和Y轴的旋转角度(地面坐标系下)。如下图所示。

形成姿态角的三种运动分别如下图所示。

地面坐标系的原点一般为雷达所在位置或火力单元位置，如下图所示。

即北、天和东分别为坐标轴的X、Y和Z轴，如下图所示。

若雷达在运动平台上，如飞机、导弹等，平台运动一般在平台坐标系中描述。飞机的姿态角(偏航、俯仰和横滚)是在大地坐标系下定义和描述的。

天线坐标系原点在平台上的某个位置，通过平台坐标系方位和俯仰(角)旋转得到。若为正前视，则与平台坐标系一致。

还会有其他一些坐标系，如阵面坐标系、地理坐标系、大地坐标系等，这里不再一一介绍，本节主要利用以上5种进行雷达回波的仿真。

若目标的姿态角分别为\phi,\theta和\gamma分别对应偏航、俯仰和横滚产生的角度，P_0为目标在地面坐标系的坐标，则有目标点在地面坐标系中的坐标为 P' = R_x(\gamma)R_y(\theta)R_z(\phi)\times P + P_0\tag{1} 其中： R_{tg}=R_x(\gamma)R_y(\theta)R_z(\phi) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ 0&{\cos \gamma }&{\sin \gamma }\\ 0&{ - \sin \gamma }&{\cos \gamma } \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \theta }&0&{ - \sin \theta }\\ 0&1&0\\ {\sin \theta }&0&{\cos \theta } \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \phi }&{\sin \phi }&0\\ { - \sin \phi }&{\cos \phi }&0\\ 0&0&1 \end{array}} \right] \tag{2}

由定义可知，此转换相当于沿Y轴旋转90度，再沿Z轴旋转90度，可以得到如下变换： P' = R_z(90^\circ)R_y(90^\circ)\times P \tag{3} 其中： R_{ge}=R_z(90^\circ)R_y(90^\circ) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&0\\ { - 1}&0&0\\ 0&0&1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&{ - 1}\\ 0&1&0\\ 1&0&0 \end{array}} \right]{\rm{ = }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{\rm{1}}&{\rm{0}}\\ 0&{\rm{0}}&{\rm{1}}\\ 1&0&0 \end{array}} \right] \tag{4}

根据平台的三个姿态角偏航角\psi、俯仰角\theta和横滚角\gamma，平台位置为P_1，则有 P' = R_x(\gamma)R_z(\theta)R_y(\psi)\times P - P_1 \tag{5} 其中： R_{eb}=R_x(\gamma)R_z(\theta)R_y(\psi) \\ \begin{array}{c} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ 0&{\cos \gamma }&{\sin \gamma }\\ 0&{ - \sin \gamma }&{\cos \gamma } \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \theta }&{\sin \theta }&0\\ { - \sin \theta }&{\cos \theta }&0\\ 0&0&1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \psi }&0&{ - \sin \psi }\\ 0&1&0\\ {\sin \psi }&0&{\cos \psi } \end{array}} \right]\\ {\rm{ = }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \theta }&{\sin \theta }&0\\ { - \cos \gamma \sin \theta }&{\cos \gamma \cos \theta }&{\sin \gamma }\\ {\sin \gamma \sin \theta }&{ - \sin \gamma \cos \theta }&{\cos \gamma } \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \psi }&0&{ - \sin \psi }\\ 0&1&0\\ {\sin \psi }&0&{\cos \psi } \end{array}} \right]\\ {\rm{ = }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \theta \cos \psi }&{\sin \theta }&{ - \cos \theta \sin \psi }\\ { - \cos \gamma \sin \theta \cos \psi {\rm{ + }}\sin \gamma \sin \psi }&{\cos \gamma \cos \theta }&{\cos \gamma \sin \theta \sin \psi {\rm{ + }}\sin \gamma \cos \psi }\\ {\sin \gamma \sin \theta \cos \psi {\rm{ + }}\cos \gamma \sin \psi }&{ - \sin \gamma \cos \theta }&{ - \sin \gamma \sin \theta \sin \psi {\rm{ + }}\cos \gamma \cos \psi } \end{array}} \right] \end{array} \tag{6}

设天线与平台坐标系下的俯仰角和方位角分别为\alpha和\beta，天线中心坐标为P_2，则有如下变换 P' = R_y(\beta)R_z(\alpha)\times P - P_2 \tag{7} 其中： R_{ba}=R_y(\beta)R_z(\alpha)\\ \begin{array}{l} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \beta }&0&{ - \sin \beta }\\ 0&1&0\\ {\sin \beta }&0&{\cos \beta } \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \alpha }&{\sin \alpha }&0\\ { - \sin \alpha }&{\cos \alpha }&0\\ 0&0&1 \end{array}} \right]\\ = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \beta \cos \alpha }&{\cos \beta \sin \alpha }&{ - \sin \beta }\\ { - \sin \alpha }&{\cos \alpha }&0\\ {\sin \beta \cos \alpha }&{\sin \beta \sin \alpha }&{\cos \beta } \end{array}} \right] \end{array} \tag{8}

最终的目标就是将目标转换到天线坐标系，从而计算天线增益等参数，联立以上可公式得到转化公式为 P' = R_{ba}(R_{eb}(R_{ge}(R_{tg}\times P +P_0)-P_1)-P_2) \tag{9}

目标散射点模型，采用茶壶，具体可参考。

目标旋转相当于坐标系逆旋转，方位、俯仰喝横滚角都选择45^\circ，则变换结果如下图所示。

这里仿真式9。参数：平台坐标系原点在北天东坐标系坐标(0,10,0), 目标原点在地面坐标系(100,100,0)，平台和天线都偏航45^\circ。仿真结果如下图所示。

得到了天线坐标系下目标坐标，结下来可以仿真回波，可参考。

本节主要介绍了雷达常用到的坐标系及其坐标变换，方针结果可以对照分析结果 的正确性，来理解坐标变化。这里需要特别注意的是，坐标旋转相当于坐标不动目标的反方向旋转，这在坐标变换中极为重要！！！

【1】维基百科