哈斯图 寻找 极小元与极大元 最小元与最大元 上界与下界 最小上界(上确界)和最大下界(下确界)（一看就会）附一练习题

前置知识： 1）偏序关系与偏序集 2）哈斯图的概念及绘画

示例是整除关系，C表示全集{1,2,3,6,12,24,36}。画出哈斯图，为方便理解，由下往上分为5行。

定义：

判断标准：列出子集中所有元素的关系，利用定义判断。 通常（有特例，不建议以此为判断标准），在子集B中，最上面一行元素是极大元；最下面一行元素是极小元。 极大元与极小元不是唯一的。 解释： 1）子集{2,3}中，2,3不可比较，因此子集中既没有比2,3更大的元素，也没有比2,3更小的元素，所以2,3既是极大元，又是极小元。 2）子集{1,2,3}中， 1 ≤ 2 1\leq2 1≤2， 1 ≤ 3 1\leq3 1≤3, 2 , 3 2,3 2,3不可比较，因此子集中没有比1更小的元素，没有比2,3更大的元素，所以1是极小元，2，3是极大元。 3）4）留给读者自己分析。

定义： 判断标准：先求出该子集的极小元与极大元。如果极小元只有一个，那么最小元就是该极小元；若极小元有多个，就没有最小元。最大元的判断同理。 解释： 2）子集{1,2,3}中，极小元是1，极大元是2,3。极小元只有一个数，因此最小元就是极小元。极大元有两个数，因此没有最大元。 1）3）4）留给读者自己分析。

定义： 判断标准：就是在全集里面，寻找比子集B的所有元素都大（都小）的元素。（注意，在哈斯图里，可以认为一个元素小于本身的同时大于本身。）

判断标准：上确界就是上界里面最小的元素，下确界就是下界里面最大的元素。 有用的技巧：子集B如果有最大元，上确界就是该最大元。如果有最小元，下确界就是该最小元。

设集合A={1,2,3,6 ,8,12,24,36}上的整除关系R的哈斯图，如图所示。试求子集B={2,6,8}的极大元，极小元，最大元，最小元，上界，下界，上确界，下确界。

答案：（建议先自己做） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 极大元：6,8 极小元：2 最大元：无 最小元：2 上界：24 下界：1,2 上确界：24 下确界：2