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深度学习/机器学习入门基础数学知识整理（七）：数学上sup、inf含义，和max、min的区别
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inf和sup的定义inf和sup的性质、证明sup, inf和max, min的区别参考资料
inf和sup的定义
经常在文献中看到inf和sup，很多人不知道是什么意思。其实这两个概念是来自于“数学分析”中的上确界和下确界： inf： infimum 或 infima，中文叫下确界或最大下界。 inf(S)， S表示一个集合， inf(S)是指集合S的下确界， 即小于或等于S中所有元素的最大值， 这个数不一定在集合S中。sup：supremum，中文叫上确界。sup(S)是指集合S的上确界，即大于或等于S的所有元素的最小值， 这个数不一定在集合S中。下面给出一些集合上的简单例子[1]： inf例子： i n f { 1 , 2 , 3 } = 1 inf\{1,2,3\} = 1 inf{1,2,3}=1; i n f { x ∈ R , 0 < x < 1 } = 0 inf\{x \in \mathbb{R}, 0(−1)n+1/n:n=1,2,3,...}=−1;如果一个集合有最小元素， 则下确界等于这个最小元素，下确界属于这个集合，如例子1；反之，则下确界不属于这个集合，这一点从例子2，3，中可以看出。 sup例子： s u p { 1 , 2 , 3 } = 3 sup\{1,2,3\} = 3 sup{1,2,3}=3; s u p { x ∈ R , 0 < x < 1 } = s u p { x ∈ R , 0 ≤ x ≤ 1 } = 1 sup\{x \in \mathbb{R}, 0x∈R,0≤x≤1}=1; s u p { ( − 1 ) n − 1 / n : n = 1 , 2 , 3 , . . . } = 1 sup\{(-1)^{n} - 1/n : n = 1, 2, 3,...\} = 1 sup{(−1)n−1/n:n=1,2,3,...}=1;如果一个集合有最大元素， 则上确界等于这个最大元素，上确界属于这个集合，如例子1；反之，则上确界不属于这个集合，这一点从例子2，3 中可以看出。 inf和sup的性质、证明简单性质： s u p { a + b : a ∈ A a n d b ∈ B } = s u p ( A ) + s u p ( B ) sup\{a+b:a\in A\ and\ b \in B\} = sup(A)+sup(B) sup{a+b:a∈A and b∈B}=sup(A)+sup(B); i n f { a + b : a ∈ A a n d b ∈ B } = i n f ( A ) + i n f ( B ) inf\{a+b:a\in A\ and\ b \in B\} = inf(A)+inf(B) inf{a+b:a∈A and b∈B}=inf(A)+inf(B);证明：令A+B={a+b|a∈A,b∈B}，求证：sup(A+B)=supA + supB 首先证明supA+supB是集合A+B的一个上界，再证明其是一个最小的上界： 集合是比较简单容易理解的，但是实际中用的比较多是表示一个函数上下确界，写成
s
u
p
f
(
x
)
sup f(x)
supf(x)，
i
n
f
f
(
x
)
inf f(x)
inff(x)。使用 inf 或 sup 总能保证一个函数的 inf 或 sup 存在，而函数的 min 或 max 有时候不存在。例如
f
(
x
)
=
s
i
n
(
x
)
/
x
f(x)=sin(x)/x
f(x)=sin(x)/x该函数在 x=0 处没有值，因此其最大值即 max 不存在，但是我们可以看出 f(x) 最小的上界为 1，即
s
u
p
f
(
x
)
=
1
sup f(x)=1
supf(x)=1。 [1] https://blog.csdn.net/D_turtle/article/details/81901853 [2] https://www.zybang.com/question/6adc7986ab84c9d94fdc00ccfdc1f7db.html [3] https://blog.csdn.net/robert_chen1988/article/details/81233738 |
另外上述性质对减法、乘法、除法是不成立的。很容找到反例，例如A={-1,1},B={-5,1}，那么sup(A*B)=5，而supA=1、supB=1，乘法是不成立的。减法和除法也类似，很容易找到反例。
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