离散数学第三章 集合与关系

说明集合的方法有两种：

我们用p(x)表示任何谓词，则{x|p(x)}可表示集合。如果p(b)为真，那么b∈A，否则b∉A

外延性原理：两个集合是相等的，当且仅当它们有相同的成员

两个集合A和B是相等的，记作A=B，两个集合不相等，则记作A≠B

集合的元素还可以允许是一个集合，例如：S={a,{1,2},p,{q}}。必须指出：q∈{q},但q∉S，同理1∈{1，2}，但1∉S

A⊆B：A是B的子集，或A包含在B内，或B包含A

A⊆B⇔∀x(x∈A→x∈B)

根据子集的定义，显然有：

A⊆A(自反性)

(A⊆B)∧(B⊆C)⇒(A⊆C)(传递性)

集合A和集合B相等的充分必要条件是这两个集合互为子集(★这个定理很重要，今后证明两个集合相等，主要利用这个互为子集的判定条件)

A⊂B：A为B的真子集

A⊂B⇔(∀x)(x∈A→x∈B)∧(∃x)(x∈B∧x∉A)

A⊂B⇔A⊆B∧A≠B

空集(Φ)：不包含任何元素的集合

对任意一个集合A，Φ⊆A

全集(E):对任一x∈A，因A⊆E，故x∈E

给定集合A，由集合A的所有子集为元素组成的集合，称为集合A的幂集，记为P(A)。

eg1.求幂集：{a,{a}}

解：{Φ，{a}，{{a}}，{a,{a}}}

eg2.求幂集：{{1，{2，3}}}

解：{Φ，{{1，{2，3}}}}

eg3.求幂集：P(P(Φ))

解：P(P(Φ))={Φ，{Φ}}，则幂集为{Φ，{Φ}，{{Φ}}，{Φ，{Φ}}}

如果有限集合A有n个元素，则其幂集P(A)有2ⁿ个元素

S=A∩B={x|(x∈A)∧(X∈B)}

n个集合A₁,A₂,…,An的交可记为：

S=A∪B={x|(x∈A)∨(x∈B)}

n个集合A₁,A₂,…,An的并可记为：

A⊆B，当且仅当A∪B=B或A∩B=A

S=A—B={x|x∈A∧x∉B}={x|x∈A∧¬(x∈B)}(属于前者而不属于后者)

~A=E—A={x|x∈E∧x∉A}

S=A⊕B=(A—B)∪(B—A)={x|x∈A 不可兼或 x∈B}（A与B的并集去掉A与B的交集）

一般地说，两个具有固定次序的客体组成一个序偶，它常常表达两个客体之间的关系，记作。

eg.，，< 3，4>

序偶可以看作是具有两个元素的集合。但它与一般集合不同的是序偶具有确定的次序。在集合中{a,b}={b,a}，但对序偶≠

令A和B是任意两个集合，若序偶的第一个成员是A的元素，第二个元素是B的元素。所有这样的序偶集合，称为集合A和B的笛卡尔乘积或直积，记作A×B

A×B={|(x∈A)∧(x∈B)}

A={α,β},B={1,2,3}

A×B={,,,,,}

B×A={,,,,< 3,α>,< 3,β>}

(A×B)∩(B×A)=∅

可得出A×B≠B×A

若A=∅或B=∅，则A×B=∅

(A×B)×C≠A×(B×C)

设A,B,C为任意三个集合，即有：

若C≠∅,则A⊆B⇔(A×B⊆B×C)⇔(C×A⊆C×B)

任一序偶的集合确定了一个二元关系R，R中任一序偶可记作∈R或xRy。不在R中的任一序偶可记作∉R

前域：令R为二元关系，由∈R的所有x组成的集合dom R称为R的前域，即：dom R={x|(∃y)(∈R)}

值域：使∈R的所有y组成的集合ran R称作R的值域，即：ran R={y|(∃x)(∈R)}

域：R的前域和值域一起称作R的域，记作FLD R，即：FLD R=dom R∪ran R

设A={1，2，3，5}，B={1，2，4}，H={,,,< 3,4>}

解：dom H={1,2,3} ran H={2,4} FLD H={1,2,3,4} (重复多余的去掉)

设X={1，2，3，4}，求X上的关系>及dom>，ran>

解：>={,< 3,1>,< 3,2>,,,}

dom>={2,3,4},ran>={1,2,3}

A={1,2,3}， 则I(A)={,,< 3,3>}

eg.设A={1，2，3，4}，写出集合A上大于关系>的关系矩阵

解：>={,< 3,1>,< 3,2>,,,}

eg.设A={1，2，3，4，5}，在A上的二元关系R给定为：R={,,,< 3,1>,< 3,4>,}画出R的关系图

设R为定义在集合X上的二元关系，如果对于每个x∈X，有xRx,则称二元关系R是自反的

R在X上自反⇔(∀x)(x∈X→xRx)

eg.A={1,2,3}

R₁={,},R₂={,,< 3,3>}

则R₁不是自反的，R₂是自反的

对于每个x,y∈X，每当xRy,就有yRx，则称集合X上关系R是对称的(有则必须要有)

R在X上对称⇔(∀x)(∀y)(x∈X∧y∈X∧xRy→yRx)

A={1,2,3}

R₁={,},R₂={,,},R₃={,,}

R₁,R₂是对称的，R₃不对称

对于任意x,y,z∈X,每当xRy,yRz时就有xRz，称关系R在X上是传递的

A={1,2,3}

R₁={,},R₂={},R₃={,,,}

R₁,R₂是传递的，R₃因没有,，所以不传递

对于每个x∈X，都有∉R,则R称作反自反的

R在X上反自反⇔(∀x)(x∈X→∉R)

一个不是自反的关系，不一定就是反自反的

除了外，不含有其他对称元素

A={1,2,3}

R₁={,},R₂={,},R₃={,,,}

R₁,R₂是反对称的，R₃不反对称

可能有某种关系，既是对称的，又是反对称的；也可能既不对称，也不反对称

空集除了自反以外，其他性质都有

定义：设R为X到Y的关系，S为从Y到Z的关系，则R○S称为R和S的复合关系

eg.R={,< 3,4>,},S={,,< 3,1>,}

解：R○S={,< 3,2>,}

​ S○R={,< 3,2>,}≠R○S

​ (R○S)○R={< 3,2>}

​ R○(S○R)={< 3,2>}

​ R○R={,}

​ S○S={,< 3,3>,}

​ R○R○R={,}

R○R○R○R…○R○R(n个R相乘)=Rⁿ

复合关系也可用矩阵表示

定义：设R为X到Y的二元关系，如将R中每一序偶的元素顺序互换，所得到的的集合称为R的逆关系，记作R^c

定义：设R是X上的二元关系，如果有另一个关系R’满足：

​ 1.R‘是自反的（对称的，可传递的）

​ 2.R’⊇R

​ 3.对于任何自反的（对称的，可传递的）关系R‘’，如果有R‘’⊇R，就有R‘’⊇R‘。

​ 则称关系R’为R的自反（对称，传递）闭包。记作r(R ),(s(R ),t(R ))

tips:自反（对称，传递）闭包应是包含R的最小自反（对称，传递）关系

定理1：设R是X上的二元关系，那么

​ a) R是自反的，当且仅当r(R )=R

​ b) R是对称的，当且仅当s(R )=R

​ c) R是传递的，当且仅当t(R )=R

定理2：设R是集合X上的二元关系，则

eg1.

定理3：设X是含有n个元素的集合，R是X上的二元关系，则存在一个正整数k≤n，使得

定理4：rs(R )=sr(R )

​ rt(R )=tr(R )

​ ts(R )⊇st(R )

定义：若把一个集合A分成若干个叫做分块的非空子集，使得A中每个元素至少属于一个分块，那么这些分块的全体构成的集合叫做A的一个覆盖。

​ 如果A中每个元素属于且仅属于一个分块，那么这些分块的全体构成的集合叫做A的一个划分（或分划）。

符号定义：

​

eg.A={a,b,c}，考虑下列子集：

​ S={{a,b},{b,c}} (覆盖)

​ Q={{a},{a,b},{a,c}} (覆盖)

​ D={{a},{b,c}} (划分)

​ G={{a,b,c}} (划分)

​ E={{a},{b},{c}} (划分)

​ F={{a},{a,c}} (既不是划分也不是覆盖)

最小划分：由这个集合的全部元素组成的一个分块的集合 (eg中的G)

最大划分：由每个元素构成一个单元素分块的集合（eg中的E）

交叉划分：若{A₁,A₂,…,A(r )}与{B₁，B₂,…,B(s)}是同一集合A的两种划分，则其中所有A(i)∩B(j)≠∅组成的集合，称为是原来两种划分的交叉划分

X：所有生物

P：所有植物，A：所有动物 则X可构成{P，A}

E：史前生物，F：史后生物 则X也可构成{E，F}

其交叉划分为：Q={P∩E，P∩F,A∩E,A∩F}

P∩E:史前植物，P∩F:史后植物，A∩E:史前动物，A∩F:史后动物

定理：设{A₁,A₂,…,A(r )}与{B₁，B₂,…,B(s)}是同一集合X的两种划分，则其交叉划分亦是原集合的一种划分

加细定义：给定X的任意两个划分{A₁,A₂,…,A(r )}与{B₁，B₂,…,B(s)}，若对于每一个A(j)均有B(k)使A(j)⊆B(k),则{A₁,A₂,…,A(r )}称为是{B₁，B₂,…,B(s)}的加细

定理：任何两种划分的交叉划分，都是原来各划分的一种加细

定义：设R为定义在集合A上的一个关系，若R是自反的，对称的和传递的，则R称为等价关系。

**eg1.**集合T={1,2,3,4},R={,,,,,,< 3,2>,< 3,3>}

​ 则R是T上的等价关系

同余模k关系：x≡y(modk)，x、y被k除有相同的余数

eg2.设***I*为整数集，R={|x≡y(modk)},证明R是等价关系

证明：自反性：∵a-a=k·0, ∴ ∈R

​ 对称性：∵a≡b(modk),a-b=kt,b-a=-kt,∴b≡a(modk)

​ 传递性：若a≡b(modk)，b≡c(modk), 则a-b=kt,b-c=ks,a-c=a-b+b-c=k(t+s),∴a≡c(modk)

​ 因此R是等价关系

定义：设R为集合A上的等价关系，对任何a∈A，集合 称为元素a形成的R等价类

如在eg1中，T的各个元素等价类为：

定理1：设给定集合A上的等价关系R，对于a,b∈A有

定理2：集合A上的等价关系R，其等价类集合 称作A关于R的商集，记作A/R

定理3：集合A上的等价关系R，决定了A的一个划分，该划分就是商集A/R

定理4：集合A的一个划分确定A的元素间的一个等价关系

定理5：设R₁和R₂为非空集合A上的等价关系，则R₁=R₂当且仅当A/R₁=A/R₂

定义：设A是一个集合，如果A上的一个关系R，满足自反性，反对称性和传递性，则称R是A上的一个偏序关系，并把它记为**“≼”。序偶称作偏序集**

定义：在偏序集合中，如果x,y∈A,x≼y,x≠y且没有其他元素z满足x≼z,z≼y,则称元素y盖住元素x，并且记COV A={|x,y∈A；y盖住x}

eg.设A是正整数m=12的因子的集合，并设≼为整除关系，求COV A

解：m=12其因子集合为A={1,2,3,4,6,12}

​ “≼”={,,,,,,,,< 3,6>,< 3,12>,,,,,< 3,3>,,,}

​ COV A={,,,< 3,6>,,}

定义：对于给定偏序集，它的盖住关系是唯一的，所以可用盖住的性质画出偏序集合图，或称哈斯图，其作图规则为：

上例中的哈斯图为：

定义：设是一个偏序集合，在A的一个子集中，如果每两个元素都是有关系的，则称这个子集为链。

​ 在A的一个子集中，如果每两个元素都是无关的，则称这个子集为反链。

tips:若A的子集只有单个元素，则这个子集既是链又是反链

定义：在偏序集中，如果A是一个链，则称为全序集合或称线序集合，在这种情况下，二元关系≼称为全序关系或称线序关系

​ 全序集就是对任意x,y∈A，或者有x≼y或者有y≼x成立。

例如“≤”关系，对任意i，j∈N，必有：(i≤j)或(j≤i)成立，则"≤"是全序关系

定义：设是一个偏序集合，且B是A的子集，对于B中的一个元素b，如果B中没有任何元素x，满足b≠x且b≼x，则称b为B的极大元。同理，对于b∈B，如果B中没有任何元素x，满足b≠x且x≼b，则称b为B的极小元。

tips：

极大元和极小元不是唯一的

当B=A时，偏序集的极大元即是哈斯图中最顶层的元素，其极小元是哈斯图中最底层的元素，不同的极小元素或不同的极大元素之间是无关的

定义：令是一个偏序集，且B是A的子集，若有某个元素b∈B，对于B中每一个元素x有x≼b，则称b为的最大元。同理，若有某个元素b∈B，对每一个x∈B有b≼x，则称b为的最小元。

性质：

令为偏序集且B⊆A，若B有最大（最小）元，则必是唯一的

在最大（最小）元的定义中，当子集B与A相等时，B的最大（最小）元就是偏序集的最大（最小）元

定义：设为一偏序集，对于B⊆A，如有a∈A，且对B的任意元素x，都满足x≼a，则称a为子集B的上界。

​ 同样地，对于B的任意元素x，都满足a≼x，则称a为B的下界。

tips:上界和下界不是唯一的

定义：设为偏序集且B⊆A为一子集，a为B的任一上界，若对B的所有上界y均有a≼y，则称a为B的最小上界（上确界），记作LUB B。

​ 同样，若b为B的任一下界，若对B的所有下界z，均有z≼b。则称b为B的最大下界（下确界），记作GLB B。

定义：任一偏序集合，假如它的每一个非空子集存在最小元素，这种偏序集合称为良序的。

eg. I={1,2,…,n}及N={1,2,3,…}，对于小于等于关系来说是良序集合，即，是良序集合

性质：