隔板法在排列组合中的应用

在近几年的联考当中，排列组合已经成为必考的一种题型，要想在排列组合这个部分拿分，那就必须了解和掌握一些解排列组合的常规技巧和方法。今天我们主要来介绍隔板法在排列组合当中的应用。在排列组合的题型当中，有这样一类题目，题目会要求把n个相同元素分配到m个不同的组里，并且要求每组至少有一个元素，类似于这样的排列组合题目，我们就用隔板法来解决。

1.隔板法使用的基本条件：

必须同时满足以下3个条件，

(1)题目中被分配的元素必须完全相同;

(2)所分成的组各不相同;

(3)每个组要求至少分到1个元素;

2.隔板法基本的解题思路：

如果题目要求有n个相同的元素，要求分到m组中，并且要求每组中至少有一个元素，那么我们先将n个相同的元素排成一行，这样n个元素之间就会出现(n-1)个间隔，然后按题目要求需要把它们分成m组，我们就用(m-1)个“隔板”随机插入已有的(n-1)个间隔当中，这样就可以把n个元素隔成不同的m份，共有C(n-1，m-1)种不同方法满足题目要求。

3.题型应用：

(1)基本题型应用：【例】学生会购买了8份完全相同的奖品分给5个优秀学生作为奖励，要求每个学生至少要分到一份奖品，问有几种不同分法?假设，我们可以将8份奖品排成一行，这样8份奖品之间就出现了7个间隔，现在我们用4个隔板随机插入这7个间隔当中，这样就把8份奖品隔成了5组，每个学生依次对应一组奖品(每组奖品可能是1个、2个、3个、4个)。这样，我们借助于虚拟“隔板”就可以把8分奖品分到了5个学生手中。那么，题目的原问题就可以转化成：在7个空档之中插入4个板(4个板可把奖品分为5份)的简单组合问题，其最终有：C

=35种分法。

(2)基本题型变形应用：有些题目，对于隔板法使用的三个条件不能够完全满足，例如，满足我们前面所提到的条件(1)和条件(2)，但是不满足条件(3)，也就是没有特别要求每组至少分到一个元素，这个时候就需要我们在基础的方法上做简单的变形。例如：【例】把10份相同的奖品分给3个不同的学生，有几种分配方式? 这道题目与我们刚刚讲到的上一道题目略有区别，并没有明确要求每个学生至少分到一份，也就意味着3个学生都有可能分不到奖品，不能直接使用隔板法解题。我们可以假设，此时如果在现有的10份奖品之外再加3份奖品，并且要求这三份奖品必须人手发一份，则就等价于把原来的问题转化为13份相同的奖品分给3个不同的学生，每个学生至少分一份奖品，有几种情况? 这样就能够直接用隔板法来解，显然就是 c(12， 2)=66 ，我们把这种方法叫凑元素隔板法。

以上就是我们对于隔板法的基本讲解，希望同学们平时多多练习!返回搜狐，查看更多

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