概率论基础（二）随机变量

本部分主要介绍常见的随机变量及其关系。主要内容有：

在上一节从经验直观出发，引入随机事件及其概率的概念之后，为进一步研究随机现象，我们需要引入随机变量的概念。

补充了随机变量函数的分布这一部分内容

顾名思义，随机变量就是其值随机会而定的变量，正如随机事件是其发生与否随机会而定的事件。

机会表现在实验结果，一个随机试验有许多可能的结果，出现哪一个要看机会，即有一定的概率。到底是哪一个，要等掷骰子以后才知道。因此，又可以说，随机变量就是实验结果的函数。关键在于实验前后之分：前，我们不能预制其取值，“随机”；试验后，取值就确定了。

随机变量的反面是“确定性变量”，其取值遵循某种严格的规律的变量。

随机事件这个概念实际上是包含在随机变量这个更广的概念之内。也可以说：随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点。一如数学分析中的常量和变量的区分那样，变量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念。同样，概率论能从一些孤立事件的概率发展为一个更高的理论体系，基础就是随机变量。

从中可以看到随机变量与随机事件的联系及其意义，以下给出随机变量形式化的定义：

A random variable is a measurable function \(X: \Omega\rightarrow E\) from a set of possible outcomes \(\Omega\) to a measurable space \(E\). The technical axiomatic definition requires \(\Omega\) to be a sample space of a probability triple (see the measure-theoretic definition). The probability that \(X\) takes on a value in a measurable set \({\displaystyle S\subseteq E}\) is written as \({\displaystyle \operatorname {P} (X\in S)=\operatorname {P} (\{\omega \in \Omega \mid X(\omega )\in S\})}\), where ${\displaystyle \operatorname {P} } $ is the _probability measure_on \({\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}\).

从中可以看到随机变量与随机事件的联系及其意义。简言之，随机变量是定义在样本空间上\(\Omega\) 样本点的实值函数 \(X=X(\omega)\)，是随机事件的数量表示。

考虑到随机变量概念的重要性，对其此概念的介绍参见 概率论基础：补充（1）概率的公理化定义与随机变量的概念

下面说明一些符号：如定义所示，随机变量其实是一个定义在样本空间的一个函数 \(X(\omega)\) ，而我们平时多简记为 \(X\)，但要注意其取值始终是和一个事件联系起来的；也就是说，从 \(\omega\) 这个事件得出随机变量 \(X\) 的值。反过来，对于一个随机变量我们也可以定义出一个对应的事件，例如常见 \(X\in A\) 或 \(\{X\in A\}\) 其实指的是 \(\{\omega|X(\omega)\in A\}\)；同理， \(a m) = P(ξ > n)\) 负二项(Pascal)分布：命名来由一则是“负指数二项展开式”，二则是由于它与二项分布相比是“反其道而行之”：二项分布是定下总抽样个数ｎ而把废品个数X作为变量；负二项分布是定下废品个数ｒ而把总抽样次数减去ｒ作为变量。 可列重复伯努利实验中第 r 次成功时试验次数，\(P(X_r = k) = C_{r−1}^{ k−1}p^{ r−1} q^{ k−r} p = C_{r−1}^{ k−1}p^{r} q^{k−r}\)。注意到，几何分布时负二项分布在\(r=1\)时的特例。 泊松(Poisson)分布：泊松分布多出现在当 X 表示在一定的时间或空间内出现的事件个数（例如单位时间的放射粒子数，一天之内的顾客数量等）。泊松分布可作为二项分布的极限得到。若\(X\)服从二项分布，\(n\) 很大，\(p\) 很小，\(np\) 不太大时，\(X\) 的分布接近参数为 \(\lambda=np\) 的泊松分布。 其概率分布为 \(P(X=k)={\lambda^k\over k!}e^{-\lambda}\) 另外，需注意柏松分布的实际含义；其一个重要应用在于对二项分布的近似。 离散的均匀分布：设随机变量 X 取值 \(a_1, a_2, …, a_n\) ，且有\(P(X = a_k) = {1\over n}, k = 1, …, n\)。可以看出, 离散的均匀分布正是古典概型的抽象。 超几何分布：抽取不放回的情况。概率分布为 \(P(X=m)={C_M^m C_{N-M}^{n-m}\over C_N^n}\)，可想成从 N 个样品中抽 M 个，记其废品数。命名是因其形式与“超几何函数”的级数展开式的系数有关。这个分布在涉及抽样的问题中常用（无放回）。\(X\) 服从超几何分布，当ｎ固定；\(M/N＝ｐ\)固定；Ｎ趋向无穷时，\(X\) 近似服从二项分布。 其数学形式比较复杂，虽然在现实中很多都是超几何分布，但当样本量很大的时候，可将其近似为放回情况，即近似为二项分布。 重要的连续分布

在古典的「概率」框架下，我们可以很自然得理解上面离散分布的含义；在上面，我们是直接根据某一个「数值」变量作为一个随机变量的，这时这个变量取不同的值，对应着某一个事件；然而，除了离散的变量之外，还可能有连续取值的变量，在这时单个状态就没有合理的「概率」内涵了；所以根据概率的定义导出概率密度函数 pdf

正态分布：正态分布的密度函数是以 \(x = µ\) 为对称轴的对称函数，\(µ\) 称为位置参数，密度函数在 x = µ 处达到最大值，在\((−∞, µ)\) 和 \((µ, +∞)\) 内严格单调。\(σ\) 的大小决定了密度函数的陡峭程度，通常称 \(σ\) 为正态分布的形状参数。

威布尔(Weibull)分布：许多产品（如轴承）的使用寿命服从威布尔分布，注意，m=1时退化为指数分布。

伽马 \(\Gamma(\alpha, \beta)\)分布：密度函数为 \(f(x;\alpha,\lambda)={\lambda^\alpha\over \Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1}e^{-\lambda x}, x\ge 0\)。

伽马分布与指数分布、正态分布有密切关系。显然 \(Γ(1, λ) = E(λ)\)。

帕累托(Pareto)分布：家庭年收入

贝塔分布 \(B(\alpha,\beta)\) 分布：贝塔分布与二项分布、伽马分布有密切关系。

另外，可以参看以下文章：

懒得打公式了，可以参考这篇总结 统计分布总结 #优秀的总结

以下来谈谈自己关于各离散和连续分布的理解。

在之前的概率密度函数 pdf/pmf 的基础上，我们可以定义（累积）分布函数 cdf。即 \(F(x)=P(X0 \]