对数螺旋线(等角螺旋线)数学公式推导 | 您所在的位置:网站首页 › 阿基米德公式的推导 › 对数螺旋线(等角螺旋线)数学公式推导 |
在某些论文或文章里看到对数(等角)螺旋线的公式: 当然也有像我这样的想知道公式怎么推出了的,因此我写下这篇文章,希望能够帮助到大家。因本人才疏学浅,文章定有不足,希望大家能够在评论区讨论以及指正。 废话不多说,开启正文! 一、图形引入下面是对数(等角)螺旋线的图片,可以清晰看出它的性质:图中曲线的在一任意点P处的切线与圆心O到这一点的连线所成角度α不变,也就是α是一个定值。 ![]() 若在极坐标系中,对数(等角)螺旋线的极坐标方程为: 切向量推导过程如下: 点P的极坐标为 再分别对x,y轴坐标进行求导, 因此可得该点的切向量为: 因为α为该点的切向量与圆心连线的夹角,并且α是一个定值,这个角的大小永远不变,那么接下来就是要求出
已知两向量的夹角公式为: 所以 对上式化简: 得到
已知 所以, 已知 所以, 继续求得最终对数(等角)螺旋线的极坐标方程: 极坐标方程推导如下: 已知 对上述式子两端积分可得, 化简上式,得到 所以,对数(等角)螺旋线的极坐标方程为: 以上便是对数(等角)螺旋线极坐标方程的推导,根据公式: 对于每一个θ,都有一个r值相对应;当θ=0时,r=a,因此a可以影响螺旋线距离圆心的距离。其他的性质就不说那么多了,百度上很多讲性质的。 总结:打公式不易,如有错误欢迎指正!麻烦点赞收藏给个鼓励,谢谢~ 最后再补充一张MATLAB实现的图吧! ![]() |
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