![](https://img-blog.csdnimg.cn/11887eee6fcf46afb837bd7fe6d9be0c.gif#pic_center)
信号与系统 2023(春季) 作业要求 - 第九次作业信号与系统分析2022春季作业-参考答案:第九次作业信号与系统 2023年春季作业要求与参考答案汇总
01 基础练习
一、信号的采样与恢复
1、采样信号恢复
![▲ 图1.1.1 一阶保持恢复的采样信号](https://img-blog.csdnimg.cn/35e7bc7b21f840e38517e789c7af921b.png#pic_center)
▲ 图1.1.1 一阶保持恢复的采样信号
◎ 解答
(1) 对信号的一阶保持回复, 可以看成对采样的离散信号 使用 三角脉冲信号进行卷积。 根据题目给定的信号采样参数, 对应的三角脉冲信号的宽度为
0.08
μ
s
0.08\mu s
0.08μs (对应 12.5MHz 的周期)。
对于频谱为 5MHz, 幅度为 1 的正弦波, 它的频谱为:
![](https://img-blog.csdnimg.cn/e1118e49137e4b86adeb8a0e5f2d12f0.png#pic_center)
由于
F
0
(
ω
)
F_0 \left( \omega \right)
F0(ω) 是一个纯虚数, 所以下面绘制出
j
⋅
F
0
(
ω
)
j \cdot F_0 \left( \omega \right)
j⋅F0(ω) 对应的波形:
![▲ 图1.1.2 正弦波的频谱](https://img-blog.csdnimg.cn/b933b6184f4e4470a47e92bf43d061d1.png#pic_center)
▲ 图1.1.2 正弦波的频谱
对其进行 25MHz 的理想采样, 对应的频谱为:
对应的频谱绘制如下, 为了显示出周期延拓,频率轴的尺度进行了压缩。
![▲ 图1.1.3 理想采样信号频谱](https://img-blog.csdnimg.cn/84914e4b6b474109a0f50eeb71dcbb96.png#pic_center)
▲ 图1.1.3 理想采样信号频谱
对采样信号进行一阶保持, 等效于和采样周期等宽的三角脉冲信号进行卷积。 如下图所示:
![▲ 图1.1.4 一阶保持对应的插值三角脉冲信号](https://img-blog.csdnimg.cn/4fdcbf830f57467da621a7eb8a4e6358.png#pic_center)
▲ 图1.1.4 一阶保持对应的插值三角脉冲信号
该信号的频谱为:
因此, 一阶保持信号的频谱为:
可以看出一阶保持信号的频谱是在原来周期冲击频谱的基础上, 前面乘以
S
a
2
(
5
×
1
0
−
8
ω
)
Sa^2 \left( {5 \times 10^{ - 8} \omega } \right)
Sa2(5×10−8ω) 加权系数,下面将该 sinc 函数与周期频谱绘制在一起, 也可以看到恢复信号的频谱主要包含有原信号
F
0
(
ω
)
F_0 \left( \omega \right)
F0(ω) 以及高次谐波, 但高次谐波分量被衰减较多(随着
ω
2
\omega ^2
ω2 分之一衰减)。 所以绘制出来的信号频谱应该与原始 5MHz 正弦波频谱基本上一样, 高次谐波看不出来。
![▲ 图1.1.5 将Sinc函数加权信号与理想采样对应的周期频谱绘制在一起](https://img-blog.csdnimg.cn/5012136d78a741e2b18613db51b41c9c.png#pic_center)
▲ 图1.1.5 将Sinc函数加权信号与理想采样对应的周期频谱绘制在一起
下面是将一阶保持恢复信号的频谱绘制出来, 对应的高频谐波频谱省略了, 它们太小了。 请注意, 基波冲激频谱的强度,由原来的
π
\pi
π 变成了
10
/
π
10/\pi
10/π , 幅值有所衰减。
![▲ 图1.1.6 一阶保持信号频谱(省略了高斯谐波)](https://img-blog.csdnimg.cn/6d62de7165224806ba017982f573db34.png#pic_center)
▲ 图1.1.6 一阶保持信号频谱(省略了高斯谐波)
(2) 从一阶保持波形中,恢复原来的 5MHz 的正弦波,对应的补偿滤波器的频谱特性如下:
![](https://img-blog.csdnimg.cn/72651685246a432fbe594bdda7c260ef.png#pic_center)
2、采样信号的频谱
![▲ 图1.1.7 三角形与升余弦脉冲信号](https://img-blog.csdnimg.cn/db4d5cadb08b4d9889eefb793a7913cf.png#pic_center)
▲ 图1.1.7 三角形与升余弦脉冲信号
◎ 解答:
查找典型信号频谱, 可以分别得到单个三角脉冲以及升余弦脉冲信号的频谱表达式。 单个三角脉冲信号的频谱为:
单个升余弦脉冲信号的频谱为:
将它们使用
T
s
=
τ
/
10
T_s = \tau /10
Ts=τ/10 进行采样后,对应的频谱为:
![](https://img-blog.csdnimg.cn/cfcb555fc98a44dfb6e4f8c5b7fc3273.png#pic_center)
下面使用 Python 程序绘制上面频谱图。 为了便于绘制, 设置频谱中的参数
E
=
1
,
τ
=
1
E = 1,\,\,\tau = 1
E=1,τ=1 。
![▲ 图1.1.7 三角脉冲信号采样信号频谱示意图](https://img-blog.csdnimg.cn/7dbcbc1948804adc8f91e06eeb1ecf42.png#pic_center)
▲ 图1.1.7 三角脉冲信号采样信号频谱示意图
![▲ 图1.1.8 升余弦脉冲信号采样信号频谱示意图](https://img-blog.csdnimg.cn/23630e0a78a446adac3e9f9e6d5a61a3.png#pic_center)
▲ 图1.1.8 升余弦脉冲信号采样信号频谱示意图
from headm import *
t = linspace(-100, 100, 10000)
f = 0*t
for i in range(100):
n = i - 50
o = t-20*pi*n
f = f + 5*sinc(o/2/pi)/(1-(o/2/pi)**2)
plt.plot(t, f, lw=3)
plt.xlabel("t")
plt.ylabel("f(t)")
plt.axis([min(t)-(max(t)-min(t))/20, max(t)+(max(t)-min(t))/20, -6.00, 10.00])
plt.grid(False)
plt.tight_layout()
plt.show()
二、Laplace变换
◎ 求解:
(1)
![](https://img-blog.csdnimg.cn/89dcfbb4723648118fc6acd91d34c4d8.png#pic_center)
![▲ 图1.2.1 Laplace变换结果中的零极点](https://img-blog.csdnimg.cn/44a8b5019d984dd88354735866f89e72.png#pic_center)
▲ 图1.2.1 Laplace变换结果中的零极点
from headm import *
from sympy import symbols,simplify,expand,print_latex
from sympy import *
a,t = symbols('a,t', real=True)
s = symbols('s')
Fs = laplace_transform(2-exp(-a*t), t,s)
result = simplify(Fs)
print_latex(result)
_=tspexecutepythoncmd("msg2latex")
clipboard.copy(str(result))
(2)
下面直接根据 sin(t), cos(t) 的Laplace的变换结果, 利用 Laplace 线性性, 可以得到:
![](https://img-blog.csdnimg.cn/a3e2f08880e947d1b53aadb723e188ee.png#pic_center)
![](https://img-blog.csdnimg.cn/39eff6d06c8343be9b99005d73771232.png#pic_center)
(3)
![](https://img-blog.csdnimg.cn/cbabeb4705884dd49bc7a68161835598.png#pic_center)
![](https://img-blog.csdnimg.cn/d7f77b2fe8e74957b6e55b6a3a5da7b3.png#pic_center)
(4) ![](https://img-blog.csdnimg.cn/503d357dc79b4392843ccd368cd551a2.png#pic_center)
(5)
![](https://img-blog.csdnimg.cn/5d140c7903c34d5db0260696522eb7c8.png#pic_center)
![](https://img-blog.csdnimg.cn/2d44f8de6e5a433b8377bc31a88c2fc1.png#pic_center)
(6)
![](https://img-blog.csdnimg.cn/1c7e4f2931df47caa6e8772d3ec32bb1.png#pic_center)
![](https://img-blog.csdnimg.cn/7ece70b3451f497a82152079457c6423.png#pic_center)
(7)
![](https://img-blog.csdnimg.cn/4a00d25befa145188f92c5b609d6bc73.png#pic_center)
(8)
![](https://img-blog.csdnimg.cn/eb35291eebbc44ff8bc83297e6723fc1.png#pic_center)
![](https://img-blog.csdnimg.cn/ea853296ed9a4b60afb71f0a1d077e83.png#pic_center)
(9)
![](https://img-blog.csdnimg.cn/c403182de6e944c2a70067636024e1f6.png#pic_center)
![](https://img-blog.csdnimg.cn/4b2a12464deb4a1694e2b520a620e8a3.png#pic_center)
(10)
![](https://img-blog.csdnimg.cn/633daffffd9e494d8ff79c67fc752831.png#pic_center)
(11)
![](https://img-blog.csdnimg.cn/d2152d2eca7d492fbc4e2e2074c32e42.png#pic_center)
![](https://img-blog.csdnimg.cn/01d13cd1ae6042778a704333872689f4.png#pic_center)
(12)
![](https://img-blog.csdnimg.cn/4dd80ea475a34b2099bbcd8ccff80186.png#pic_center)
![](https://img-blog.csdnimg.cn/672a09ec6cf2460fbea87952c939d3cf.png#pic_center)
(13)
![](https://img-blog.csdnimg.cn/786a829eaccc4b1bb7a4201e663e8f69.png#pic_center)
![](https://img-blog.csdnimg.cn/e6ad4da98a234d91ac8cbeea406dd2c9.png#pic_center)
(14)
这个题目实际上对应的 Laplace 变换 s 域平移和尺度性质。
![](https://img-blog.csdnimg.cn/c7f5f9e74f564217ba3dc92d792ac4db.png#pic_center)
(15)
这个题目是通过 Python 中 的 laplace_transform 进行推导化简的, 手工推导实在太复杂了。(我没有敢尝试手工推导)
![](https://img-blog.csdnimg.cn/9dbd9fde6e6a4a0bb8a16bf74f457541.png#pic_center)
下面应用 Laplace 变换的性质帮助求解。 先根据三角恒等式 ![](https://img-blog.csdnimg.cn/70649d910f4045cbb5800de658762d05.png#pic_center)
所以
![](https://img-blog.csdnimg.cn/c38a302baf2e451683863966376d8dc9.png#pic_center)
再由 s 域微分性质,可得:
![](https://img-blog.csdnimg.cn/a5f7f11371b846cd8ad789162fa80e75.png#pic_center)
Fs = ((s**2-81)/(s**2+81)**2 + (3*s**2-27)/(s**2+9)**2)/4
result = simplify(Fs)
对上面的表达式进行化简, 可以得到前面相同的表达式。
下面利用数值求解,或者所有的零点和极点。
Fs = nroots(s**6+99*s**4+3484*s**2-45927)
六个零点的数值结果:
![](https://img-blog.csdnimg.cn/bb09402630624059a9a012cd276a2caf.png#pic_center)
八个极点的数值结果:
Fs = nroots(s**8+180*s**6+9558*s**4+131220*s**2+513441)
![](https://img-blog.csdnimg.cn/a07cf269b7214bb6a2c533a34e1d4408.png#pic_center)
from sympy.physics.control.lti import TransferFunction
from sympy.physics.control.control_plots import pole_zero_plot
#------------------------------------------------------------
aa,bb,a,t = symbols('alpha, beta,a,t', real=True)
oo = symbols('omega')
s = symbols('s')
tf1 = TransferFunction(s**6+99*s**4+3483*s**3-45927, s**8+180*s**6+9558*s**4+131220*s**2+513441,s)
pole_zero_plot(tf1)
(16)
根据 ![](https://img-blog.csdnimg.cn/b48a9858c67143998e0ecbf7aecdeed4.png#pic_center)
再根据 s 域的积分性质, 得:
![](https://img-blog.csdnimg.cn/71cc458a416746f988d24d9970393b29.png#pic_center)
(17)
根据
![](https://img-blog.csdnimg.cn/c42fca8f1f1e46f6b61a2fbe379e4244.png#pic_center)
再根据 s 域的积分性质, 得:
![](https://img-blog.csdnimg.cn/9587b35cc5bb497896e938a06debf0ce.png#pic_center)
(18)
根据 在根据 s 域内的积分性质,可得: ![](https://img-blog.csdnimg.cn/de7398afc79747d0946fbb3560d80bc8.png#pic_center)
(19)
![](https://img-blog.csdnimg.cn/c17128a5404840b597041b9f21405fd1.png#pic_center)
![](https://img-blog.csdnimg.cn/83292d15a8ec40229b68da21ec0ba1f4.png#pic_center)
三、z变换
◎ 求解:
(1)
![](https://img-blog.csdnimg.cn/24f48021b5b74f6eae33a14540826c44.png#pic_center)
![](https://img-blog.csdnimg.cn/64f905116d60455aa4f4c53bec9c552d.png#pic_center)
(2)
![](https://img-blog.csdnimg.cn/17e255df4ebd405cac3a8eee8d4d674b.png#pic_center)
(3)
![](https://img-blog.csdnimg.cn/4cb04076d50f441a88aa5c84eb5e3c1f.png#pic_center)
![](https://img-blog.csdnimg.cn/b5a15475a7f941ef91384ff2464611e4.png#pic_center)
(4)
![](https://img-blog.csdnimg.cn/029f7b5eb93248b090df1dea6b9dbdfc.png#pic_center)
![](https://img-blog.csdnimg.cn/13c26aae1f2a42acaab42da152dd33b9.png#pic_center)
(5)
![](https://img-blog.csdnimg.cn/e7ec24fba53a4524833bf09b1ab62de3.png#pic_center)
(6)
![](https://img-blog.csdnimg.cn/a885425079754ef180ae045947fcf3fb.png#pic_center)
(7)
![](https://img-blog.csdnimg.cn/38123072366a457692c8d44844f4e222.png#pic_center)
![](https://img-blog.csdnimg.cn/aa8b56edd38b4316a814d00c76222f59.png#pic_center)
(8)
![](https://img-blog.csdnimg.cn/8747274924194b71b12a239f984d3e9c.png#pic_center)
(9)
将双边序列分成左边序列和右边序列, 分别各自求出对应的 z 变换, 然后在相加在一起。
![](https://img-blog.csdnimg.cn/cc56f3a9e7574865ac618f03c53b5c2a.png#pic_center)
■ 相关文献链接:
信号与系统 2023(春季) 作业要求 - 第九次作业
● 相关图表链接:
图1.1.1 一阶保持恢复的采样信号图1.1.2 正弦波的频谱图1.1.3 理想采样信号频谱图1.1.4 一阶保持对应的插值三角脉冲信号图1.1.5 将Sinc函数加权信号与理想采样对应的周期频谱绘制在一起图1.1.6 一阶保持信号频谱(省略了高斯谐波)图1.1.7 三角形与升余弦脉冲信号图1.1.7 三角脉冲信号采样信号频谱示意图图1.1.8 升余弦脉冲信号采样信号频谱示意图图1.2.1 Laplace变换结果中的零极点
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