《长方体和正方体的体积》课例

《长方体和正方体的体积》

教学设计

教学内容：

人教版实验教科书五年级下册第三单元第三节40—43页

教学目标：

知识与技能：使学生掌握长方体和正方体的体积计算公式，认识并掌握底面积的计算方法，学会计算长方体和正方体的体积。

过程与方法：在公式的推导过程中，使学生经历观察、实验、证明的数学学习过程，培养学生的观察、动手操作、抽象概括、归纳推理能力，发展学生的空间观念。

情感态度与价值观：让学生亲身经历探索知识的过程，激发他们乐于探索的热情，培养学生的探索性和挑战性。学会与人合作。

教学重点：

理解体积公式的推导过程，掌握长方体、正方体体积的计算方法。

教学难点：

长方体体积公式的推导过程。

教    具：

课件、1立方厘米的小正方体若干、实验记录单、实物。

教学过程：

一、复习旧知，引入探究

1、什么叫物体的体积？常用的体积单位有哪些？

2、老师手里拿的是体积为1立方厘米的小正方体，它的棱长是多少?

3、我用体积为1立方厘米的小正方体分别摆了一个长方体和一个正方体，你知道谁的体积大吗？

4、老师手里有一个长方体和正方体，你知道它们谁的体积大吗？

生自由发言。

导入：如果要求一本书的体积，一台电视机的体积，或者一个纸箱的体积，能把它们都切开吗？看来我们还得寻求一种求长方体和正方体的体积的方法，这样所有的问题就迎刃而解了，这节课我们就来研究这个问题好吗？（板书课题：长方体和正方体的体积）

二、新授

1、实验，推导长方体的体积公式

我们先来做个实验：老师给每个小组都准备了24个体积为1立方厘米的小正方体，你们可以选择若干个小正方体摆成形状不同的长方体，至少要摆4种，每摆完一种，要把它的长、宽、高、所用正方体的个数及拼完长方体的体积填在实验报告单上，摆完后认真观察实报告单，看看你们能发现什么？

实验报告单

长方体

长(cm)

宽(cm)

高(cm)

小正方体个数

长方体体积（cm3）

观察上表，你发现长方体的体积与它的长、宽、高有什么关系？

学生做完实验后，找2—3组汇报，教师板书。（要先说出是怎么摆的）

通过刚才的实验，知道长方体的体积怎么求了吗？

汇报后教师板书：长方体的体积=长×宽×高

如果用字母V表示长方体的体积，a表示长方体的长，b表示长方体的宽，h表示长方体的高，那么长方体的体积公式用字母怎样表示呢？生回答。

2、利用长方体的体积公式计算

现在会求长方体的体积了吗？怎样求?(出示导课时的长方体)

找生测量长方体的长、宽、高，在练习本上求出长方体的体积，找生板演，订正。强调求体积时用体积单位。

3、推导正方体的体积公式

现在我们已经求出长方体的体积了，要想比较它们的大小，还得怎么样？

正方体的体积怎样求呢？根据长方体的体积公式，老师想请大家以小组为单位自己探讨出正方体的体积公式。

小组讨论后汇报。教师板书。

如果用字母V表示正方体的体积，用a表示正方体的棱长，正方体的体积公式用字母怎么表示？

正方形的面积公式S=a2, a2表示什么？3个a相乘可以怎么写呢？推出V= a3读作V等于a的立方。教师领读，强调a3表示3个a相乘，而不是a×3

求出正方体的体积，比较长方体和正方体体积的大小。

4、练习：43页“做一做”第一题，计算长方体和正方体的体积。

5、推导统一的面积公式V=Sh

出示：一个长方体的底面积是15平方米，高是3米，它的体积是多少立方米？

找生读题，结合图理解底面积。

动脑筋想办法，已知底面积和高怎样求体积？自己思考。

找生汇报。强调底面积就是长与宽的积，板书：长方体的体积=底面积×高

正方体的体积可以用这个公式计算吗？

如果用字母表示这个公式，你会吗?

6、练习：43页“做一做”第二题。

三、巩固练习

1、明察秋毫当判官。

（1）体积相等的两个长方体，它们的长、宽、高一定相等。（   ）

（2）一个正方体的棱长是6分米，它的表面积和体积相等。（   ）

（3）一个长方体，长5分米，宽4分米，高3厘米，求它的体积，列式为5×4×3。（   ）

（4）0.7 3=0.7×0.7×0.7………………（    ）

（5）a+a+a=a3。……  (      )                                                                         

2、学会知识任我行。

（1）一块砖的长是24厘米，宽是长的一半，厚是6厘米，它的体积是多少立方厘米？

（2）一个正方体的棱长总和是36厘米，它的体积是多少？

3、解决问题显身手。

学校要在操场修建一个长方体的沙坑，如果长6米，宽4米，里面要铺垫0.9米厚的沙子，需要多少立方米沙子？按每立方米沙子重1.7吨计算，这些沙子重多少吨？

4、挑战自己快乐。                                                      

一块不规则的铁块，如果只能借助两种工具，一个装有水的正方体容器，一把直尺，你能求出这块不规则铁块的体积吗？

四、全课小结

谈谈自己的收获。

教学反思

第一次上完《长方体和正方体的体积》，根据学生的课堂反应和大家的评课，我觉得有以下不成功之处：

    1、导入新课时，我在电脑上用体积为1立方厘米的小正方体分别摆了一个长方体和一个正方体，提问：你知道谁的体积大吗？我的目的是让学生通过数小正方体的数量来比较它们的大小，这样既复习了数小正方体的数量的方法（先数一排几个，再数有几排，最后数有几层），又使学生知道要想知道体积的大小，关键看所含体积单位的数量，为下面比较长方体和正方体的体积大小，导入新课做了铺垫。在实际教学过程中，学生看到此题，首先是猜谁的体积大，当想到数小正方体的数量时，数的方法又是多种多样的，既耽误了教学时间，又没有起到很好的铺垫作用。

2、许多教育家都非常欣赏这样一句格言：我听见了，就忘记了；我看见了，就知道了；而我做了，就理解了。这就充分说明直接让学生获得感性的认识对学生学习新知识的重要性。因此，在推导长方体的体积公式时，我安排了一个实验，让学生用24个体积单位随意拼成长方体，看看长方体的体积与长、宽、高有什么关系？学生按照老师的要求去做了，也推出长方体的体积就是长、宽、高的积了，但给人的感觉学生就是在完成任务，就是在执行命令，没有真正激发起学生探究的欲望，最后的结论也只有部分小组得到了，另一部分却是茫然。

3、探索出长方体的体积公式后，我让学生自己测量，求出长方体的体积，来应用公式解决问题。可是部分学生求出长方体的体积后，马上去求正方体的体积，来解决老师导课时提出的问题，老师很难驾驭课堂了，课堂上出现了短时的混乱。

4、推导出长方体和正方体的体积公式后，我又用练习的形式引导学生把这两个公式进行统一，想进一步推出统一的面积公式V=Sh，此时，我明显的感觉到部分学生已经吃不消了，教学时间已不容我把这个内容处理完，这时我才意识到我把这一课时的内容安排多了。

5、再做后面的练习题，出现的问题更是千奇百怪，经过大家的评课，我才知道这是求物体体积的第一课时，学生只要能根据体积公式正确的求出长方体和正方体的体积就已经足够了，涉及太多的内容，难免学生会出错。

总之，第一次课是失败的，但在失败中却有很多收获，吸取教训后，我又进行了第二次教学设计。

再设计

教学内容：

人教版实验教科书五年级下册第三单元第三节40—42页

教学目标：

知识与技能：使学生掌握长方体和正方体的体积计算公式，学会计算长方体和正方体的体积。

过程与方法：在公式的推导过程中，使学生经历观察、猜想、实验、证明的数学学习过程，培养学生的观察、动手操作、抽象概括、归纳推理能力，发展学生的空间观念。

情感态度与价值观：让学生亲身经历探索知识的过程，激发他们乐于探索的热情，培养学生的探索性和挑战性。学会与人合作。

教学重点：

理解体积公式的推导过程，掌握长方体、正方体体积的计算方法。

教学难点：

长方体体积公式的推导过程。

教    具：

课件、1立方厘米的小正方体若干、实验记录单、实物。

教学过程：

    一、复习旧知，引入探究

1、什么叫物体的体积？常用的体积单位有哪些？

2、老师手里是一个1立方厘米的小正方体，它的棱长是多少？它就是一个体积单位，我用这样的体积单位拼成了长方体（大屏幕出示），这个长方体的体积是多少？你怎么知道的？如果从后面再摆一排呢？如果从上面再摆一层呢？

    总结：要看一个物体的体积就是看它所含体积单位的数量。

3、老师手里有一个长方体和正方体，怎样求它们的体积呢？

生自由发言。

导入：刚才大家想到了几种方法，但每一种方法都有一定的局限性，要想迅速的求出每一个长方体和正方体的体积，我们还要寻求一种更简单的方法，这节课我们就来研究这个问题。（板书课题：长方体和正方体的体积）

二、新授

1、猜想

教师拿两个大小不同的长方体，提问:这两个长方体的体积相等吗？除了体积不同，还有其他不同的地方吗？

学生自由回答。

大胆的猜一猜，长方体的体积可能和哪些量有关系？

2、实验，推导长方体的体积公式

化繁为简是我们研究数学很重要的一个策略，下面我们就从一个体积单位开始研究。为了大家看得更清楚，我用体积为1立方分米的正方体作为一个体积单位（板书：体积：1dm3）,现在体积单位数就是1，如果把它看作一个长方体，它的长、宽、高分别是多少？（教师随机板书）

再加一个体积单位，体积单位数就是     ,长是       ，宽是      ，高是        。（板书）

观察两组数据，你发现了什么？

再加两个体积单位，体积单位数就是     ,长是       ，宽是      ，高是        。（板书）

上面的发现对这个长方体还成立吗？

这两个长方体的体积都等于长、宽、高的积，是不是所有长方体的体积都等于长、宽、高的积呢？如果随意拼一个长方体，它的体积都等于长、宽、高的积，是不是所有长方体的体积都等于长、宽、高的积呢？

老师给每个小组都准备了1立方厘米的体积单位，你们可以选择若干个体积单位摆成形状不同的长方体，可以把长方体拼得长一些、宽一些，或者高一些，至少要摆2种，每摆完一种，要填好实验报告单，并验证一下长乘宽乘高是否等于体积？

实验报告单

长方体

长(cm)

宽(cm)

高(cm)

体积单位个数

长方体体积（cm3）

（1）

（2）

（3）

（4）

学生做完实验后，找3—4组汇报（每组只汇报一种，要先说出是怎么摆的），教师板书。

通过刚才的实验，知道长方体的体积怎么求了吗？

汇报后教师板书：长方体的体积=长×宽×高

为什么长乘宽乘高就是长方体的体积呢？结合刚才的拼摆过程想一想。（如果学生有问题，教师要给予指导。）

如果用字母V表示长方体的体积，a表示长方体的长，b表示长方体的宽，h表示长方体的高，那么长方体的体积公式用字母怎样表示呢？生回答。

3、推导正方体的体积公式

正方体的体积怎样求呢？根据长方体的体积公式，老师想请大家以小组为单位自己探讨出正方体的体积公式。

小组讨论后汇报。教师板书。

如果用字母V表示正方体的体积，用a表示正方体的棱长，正方体的体积公式用字母怎么表示？

正方形的面积公式S=a2, a2表示什么？3个a相乘可以怎么写呢？推出V= a3读作V等于a的立方。教师领读，强调a3表示3个a相乘，而不是a×3

4、小结：会求长方体和正方体的体积了吗？（大屏幕出示长方体和正方体的抽象图）要想求长方体的体积，必须知道什么？正方体呢？

5、练习：求长方体和正方体的体积

找生测量长度，同学们作好记录，然后求出长方体和正方体的体积。

三、巩固练习

1、判断，并说明理由。

（1）体积相等的两个长方体，它们的长、宽、高一定相等。（   ）

（2）一个正方体的棱长是6分米，它的表面积和体积相等。（   ）

（3）一个长方体，长5分米，宽4分米，高3厘米，求它的体积，列式为5×4×3。（   ）

（4）0.7 3=0.7×0.7×0.7………………（    ）

（5）a+a+a=a3。……  (      )                                                                         

2、求长方体和正方体的体积。（课件出示长方体和正方体）

3、解决问题。

（1）一个电脑包装箱的长为60厘米，宽为20厘米，高为30厘米，它的体积是多少立方厘米？

（2）一块棱长为2分米的正方体大理石，体积是多少？

做在作业纸上，做完后全班交流。

3、动脑想一想。

一个正方体的棱长总和是36厘米，它的体积是多少？

学生想到办法后口头回答，课件出示结果。

四、全课小结

谈谈自己的收获。 

教学实录

一、复习旧知，引入探究

师：前面我们已经学习了体积和体积单位，请大家回忆一下，什么叫物体的体积？

生：物体所占空间的大小叫做物体的体积。

师：常用的体积单位有哪些？

生：常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米。

师：请大家看大屏幕，这是一个1立方厘米的体积单位，它的棱长是多少?(大屏幕出示1立方厘米的体积单位)

生：棱长是1厘米。

师：我用1立方厘米的体积单位拼成了一个长方体，这个长方体的体积是多少？（出示下图）

生：它的体积是3立方厘米，因为它含有3个体积单位。

师：真棒！还说出了理由。下一个呢？（继续出示）

生：它的体积是8立方厘米，因为它含有8个体积单位。

师：要想知道一个物体的体积是多少，关键是数什么？

生：要想知道一个物体的体积，关键是数出物体中所含体积单位的个数。含有多少个体积单位，体积就是多少。

师：现在老师手里有一个长方体和正方体，怎样知道它们的体积呢？（出示长方体和正方体纸盒）

思考片刻。

生：用长方体的长乘宽乘高就是长方体的体积，棱长乘3就是正方体的体积。

师：你怎么知道的?

生：自己看书知道的。

师：真是个会自学的好孩子！能给大家解释一下为什么这样求它们的体积吗？

生摇头。

师（指着长方体和正方体演示）：刚才这位同学说用长乘宽乘高就是长方体的体积，棱长乘3就是正方体的体积。如果这种方法对的话，求长方体和正方体的体积就非常简单迅速了，这种方法到底对不对呢？如果对的话又是为什么呢？今天这节课我们就来研究这个问题，好吗？

生（兴趣盎然地）：好！

师板书课题：长方体和正方体的体积

二、探究操作，发现长方体的体积公式

1、猜想

师：老师首先请大家做一个大胆的猜想，长方体的体积可能与哪些数据有关系呢？

生1：长方体的体积可能和它的长有关系。

生2：长方体的体积还可能和它的宽、高有关系。

师：是不是这样呢？请同学们看大屏幕（大屏幕演示），这是刚才老师摆的3立方厘米的长方体，现在我在它的右面再加一个体积单位，体积是多少了？

生（齐）：4立方厘米。

师：再加一个呢？

生（齐）：5立方厘米。

师：通过刚才的演示，你发现什么了？

生：长方体的变长了，体积变大了。

师：继续看，我在后面再加两排，谁变了？

生（齐）：宽变了。

师：体积呢？

生（齐）：体积也变了。

师：最后我在上面再加一层，你又发现什么了？

生：高变了，体积也变了。

师：现在你知道长方体的体积和什么有关系了吗?

生：长方体的体积与它的长、宽、高有关系。

师：真有概括力，刚才大家猜对了，长方体的体积就是和它的长、宽、高有关。

2、实验

师:长方体的体积与长、宽、高到底有什么关系？要想知道这个问题的答案，我们可以怎么办？

生：可以做实验。

师：真有办法！我们可以做实验试一试。老师给每个小组都准备了一袋1cm3的体积单位，大家用这些体积单位拼成3个不同形状的长方体，可以拼得长一些，也可以拼得宽一些，或者高一些，拼完后填好实验记录单，然后仔细观察记录单，看看长、宽、高与体积之间到底有什么关系？听清楚了吗？好，比比看，看哪个小组最先有发现。开始行动！

小组实验，填好实验记录单。

实验记录单

长方体

所用体积单位的数量

体积

cm3

每排体积单位的数量

排数

层数

长

cm

宽

cm

高

cm

①

②

③

长方体的体积与长、宽、高有什么关系？

3、发现

师：老师发现每个小组的同学都有结论了，咱们来汇报一下好吗？

生（兴奋地）：好！

师：由于时间关系，我们每组汇报一个长方体。哪组先来？

生1：我们用了6个体积单位，拼成长方体的体积是6立方厘米。其中每排摆了3个体积单位，共摆了2排，摆了1层。长方体的长是3厘米，宽是2厘米，高是1厘米。我们发现长方体的体积=长×宽×高。

生2：我们用了12个体积单位，拼成长方体的体积是12立方厘米。其中每排摆了3个体积单位，共摆了2排，摆了2层。长方体的长是3厘米，宽是2厘米，高是2厘米。我们也发现长方体的体积=长×宽×高。

生3：我们用了24个体积单位，拼成长方体的体积是24立方厘米。其中每排摆了4个体积单位，共摆了3排，摆了2层。长方体的长是4厘米，宽是3厘米，高是2厘米。我们也发现长方体的体积=长×宽×高。

生4：我们用了16个体积单位，拼成长方体的体积是16立方厘米。其中每排摆了4个体积单位，共摆了2排，摆了2层。长方体的长是4厘米，宽是2厘米，高是2厘米。我们也发现长方体的体积=长×宽×高。

结合学生的回答，完成下表：

实验记录单

长方体

所用体积单位的数量

体积

cm3

每排体积单位的数量

排数

层数

长

cm

宽

cm

高

cm

①

6

6

3

2

1

3

2

1

②

12

12

3

2

2

3

2

2

③

24

24

4

3

2

4

3

2

④

16

16

4

2

2

4

2

2

师：大家都发现长方体的体积=长×宽×高吗？

生（异口同声地）：发现了！

4、验证

师：请大家再仔细观察老师整理的实验记录单，你还有什么新发现吗？

生仔细观察。

生1：我发现所用体积单位的数量等于长方体的体积。

生2：每排体积单位的数量、排数、层数和长方体的长、宽、 高相等。

师：能具体的说一说吗？

生2：每排体积单位的数量和长相等，排数和宽相等，层数和高相等。

师：真是个细心的孩子，表达得非常清楚，请坐。

根据学生的回答板书：

        长方体的体积=所用体积单位的数量

                         每排体积单位的数量  排数  层数

长           宽    高

师：再看老师刚才拼的这个长方体（出示猜想环节拼成的长方体），你知道我用了多少个体积单位？体积是多少立方厘米吗？

生：用了30个体积单位，体积就是30立方厘米。

师：你是怎么知道的？

生：每排摆了5个体积单位，摆了2层，所以最前面一排就有30个体积单位，共有3排，就是30个体积单位。

师：说得真清楚。谁能根据老师刚才摆的过程再数一数？

生：每排摆了5个体积单位，共有3排，就是15个体积单位，又摆了2层，15×2就是30立方厘米。

（师用大屏幕演示刚才的过程）

师：这就是说每排体积单位的数量、排数、层数怎样就等于体积单位的数量了？

生（齐）：每排体积单位的数量×排数×层数=体积单位的数量

（师完成板书）

师：每排摆了5个体积单位，一个体积单位多长？

生：1厘米。

师：五个体积单位呢？

生：5厘米。

师：所以就像刚才大家发现的那样，每排体积单位的数量就等于长方体的长。

师：这个长方体的宽呢？

生：3厘米。

师：就是排数，高呢？

生：2厘米，等于层数。

师：这样的话，每排体积单位的数量×排数×层数与长×宽×高有什么关系？

生（齐，大声地））：相等。

师完成板书：

长方体的体积=所用体积单位的数量

                        =每排体积单位的数量×排数×层数

 =        长        × 宽 × 高

师：观察黑板上的这个式子，知道长方体的体积怎样求了吗？

生（兴奋地）：知道了！

师：多高兴啊！通过我们自己的探索终于知道了长方体的体积公式，大声读一遍。

生（齐）：长方体的体积=长×宽×高

师(指向说出体积公式的同学)：刚才这个小伙子通过自学知道了长方体的体积公式，大家把掌声送给他。

生鼓掌。

师：如果用v表示长方体的体积，a表示长方体的长，b表示长方体的宽，h表示长方体的高，长方体的体积公式用字母怎样表示呢？

生：V=abh

师（板书）：真棒！请大家看大屏幕，这是一个长方体，要想求它的体积，必须知道哪些条件？

生：必须知道它的长、宽、高。

5、应用

师：刚才老师摆的长方体，同学们是用数体积单位的方法知道体积的，现在你能用体积公式计算出它的体积吗？

生（很自信地）：能！

师：找一个同学来说。

生：用长×宽×高，也就是5×3×2=30（立方厘米）

师：真好！大家在求体积的时候也要像这位同学一样，最后要用上体积单位。

三、推导正方体的体积公式

师：现在我们已经会求长方体的体积了，你能由此推出正方体体积的求法吗？

生思考。

生1：长方体的长、宽、高都变成了正方体的棱长。所以正方体的体积就等于棱长×棱长×棱长。

生2：因为正方体是特殊的长方体，是长、宽、高都相等的长方体，所以正方体的体积等于棱长×棱长×棱长。

师：大家的类推能力可真强!不错，正方体的体积确实等于棱长×棱长×棱长。

（师板书公式）

师：如果用v表示正方体的体积，a表示正方体的棱长，正方体的体积用字母怎样表示？

生：V=a·a·a

师：我们学习正方形面积公式的时候，a·a曾经用a2来表示，现在三个a相乘，我们可以怎样表示呢？

生：可以在a的右上角写个小3来表示。

师（板书）：聪明！它读作a的立方，或者a的三次方。a3等于不等于3a呢？

生：不等于。因为a3表示三个a相乘，3a表示3×a

师（边强调边板书）：说得真好！a+a+a用乘法表示是a×3,简写为3a，而a3表示三个a相乘，就是a×a×a,它们的意思是不一样的。所以正方体的体积是棱长的立方，也就是棱长×棱长×棱长，不是棱长×3，（看着导入新课时说出体积求法的孩子）明白了吗，孩子？

四、运用公式，解决问题

师：现在再求这个长方体和正方体的体积，你会了吗？

生（高兴地）：会了！

师：怎么求？

生：先量出长方体的长、宽、高，正方体的棱长，就可以求出它们的体积了。

师：这个办法真不错，咱们就找前面这两个同学来量一量吧！其他同学可要做好记录。

找学生测量，下面的同学做好记录，然后求体积，找两名同学板演。做完后全班交流。

2、解决问题。

师：老师这里还有两个实际问题，大家有兴趣解决一下吗？

生：有！

师：问题就在老师发给你的作业纸上，请同学们在作业纸上解答出来。

（1）一个电脑包装箱的长为60厘米，宽为20厘米，高为30厘米，它的体积是多少立方厘米？

（2）一块棱长为2分米的正方体大理石，体积是多少？

做在作业纸上，做完后全班交流。

3、动脑想一想。

师：同学们可真厉害，都会用体积公式来解决问题了，接下来的问题可有点难，还对自己有信心吗？

生：有！

大屏幕出示：一个正方体的棱长总和是36厘米，它的体积是多少？

生思考。

生：这道题没有直接给出正方体的棱长，但根据棱长总和可以先求出棱长，36÷12=3（厘米），然后再用3×3×3=27（立方厘米）

（师在大屏幕上展示方法）

师：听明白了吗？

生：明白了！

师：多有办法呀！没有正方体的棱长时，就想办法求出棱长，就可以求体积了！

五、全课小结，回顾梳理

师：现在大家感觉幸福吗？为什么？

谈谈自己的收获。

师：老师也感觉很幸福，因为老师发现大家不但学会了长方体和正方体体积的计算方法，而且还非常会猜想，会验证，会分析，会推理，这都是学习数学的好方法，打开数学王国的金钥匙，老师是为大家而幸福。就让我们在幸福中结束这节课的学习，好吗？