图像处理基础(3)

f(x,y)：输入图像 g(x,y)：为输出图像，是任意像素(x,y)的灰度在输入图像f(x,y)事先定义的(x,y)邻域内所有像素灰度的某种函数。可表示为g(x,y)=T[f(x,y)] (x,y)邻域为(2a+1)×(2b+1)的矩形，w(s,t)为滤波器模板系数。 说明： （1）对于尺寸为m*n的模板，m=2a+1，n=2b+1，a、b为非负整数，使模板的长和宽都为奇数。

（2）在大小为M*N的图像f上，用上述滤波器模板进行线性滤波。

（3）为了得到一幅完整的经过卷积运算处理的图像，必须对图像中位置x=0，1，2.……M-1和y=0，1，2……N-1依次应用上式，即遍历处理图像中所有像素。 2.模板运算步骤 （1）将模板在图中漫游，将模板中心与图中某个像素位置重合。 （2）将模板上系数与模板下对应像素相乘。 （3）将所有乘积相加，并将和（模板输出响应）赋给图中对应模板中心位置的像素。 3.二维卷积表达式 计算过程： （1）g（u，v）绕原点选择180°，的到g（-u，-v），平移到图上的点（x，y）上，的到g（x-u，y-v）。 （2）g（x-u，y-v）与f（u，v）逐点相乘并进行二维积分，从而得到卷积的值。  

离散二维卷积： 对于一幅数字图像F和一个二维卷积模板G 图像卷积运算的步骤： （1）卷积核（模板）中的元素称作加权系数（亦称为卷积系数），卷积就是作加权求和的过程。 （2）图像所取邻域中的每个像素（假定邻域为3×3大小，卷积核大小与邻域相同），分别与卷积核中的每一个元素相乘，乘积求和所得结果即为图像所取邻域中心像素的新值。 （3）改变卷积核中的加权系数，会影响到总和的数值与符号，从而影响到所求像素的新值。

三.空间滤波方法 1.均值滤波 原理：相邻像素间存在很高的空间相关性，而噪声则是统计独立的。因此，可用邻域内各像素的灰度平均值代替该像素原来的灰度值，实现图像的滤波。即将每个像元在以其为中心的区域内，取平均值来代替该像元值，以达到去掉尖锐“噪声”和平滑图像的目的。 实现：

box模板：模板中所有元素的值相同。（也称均值滤波器）

均值滤波器说明： （1）对相同类型的平滑滤波器，滤波器尺寸越大，噪声滤除效果愈好，但细节模糊效应也越强。 （2）均值滤波器的缺点是使图像变的模糊，原因是它对所有的点都是同等对待，在将噪声点分摊的同时，将景物的边界点也分摊了。 （3）为克服局部平局的弊病应考如何选择邻域的大小、形状和方向、参加平均的点数以及邻域各点的权重系数等。     加权均值滤波器：在模板中引入了加权系数，以区分邻域中不同位置像素对输出像素值的影响，常称其为加权模板。 例如： 模板不同，中心点或邻域的重要程度也不相同，因此，应根据问题的需要选取合适的模板。但不管什么样的模板，必须保证全部权系数之和为单位值，这样可保证输出图像灰度值在许可范围内，不会产生“溢出”现象。 2.中值滤波    尽管加权中值滤波适当改善了这种细节模糊效应，但能力有限，故重新设计模板，从而产生中值滤波器。 设计思路：因为噪声（如椒盐噪声）的出现，使该点像素比周围的像素亮（暗）许多。 如果在某个模板中，对像素进行由小到大排列的重新排列，那么最亮的或者是最暗的点一定被排在两侧。取模板中排在中间位置上的像素的灰度值替代待处理像素的值，就可以达到滤除噪声的目的。 中值滤波和均值滤波比较： （1）对于椒盐噪声中值滤波去除椒盐噪声效果好，而且模糊轻微，边缘保留较好。 椒盐噪声是幅值近似相等但随机分布在不同位置上，图像中有干净点也有污染点。中值滤波是选择适当的点来替代污染点的值，所以处理效果好。因为噪声的均值不为0，所以均值滤波不能很好地去除噪声点。 （2）对于高斯噪声，均值滤波效果好。高斯噪声是幅值近似正态分布，但分布在每点像素上。因为图像中的每点都是污染点，所中值滤波选不到合适的干净点。因为正态分布的均值为0，所以根据统计数学，均值可以消除噪声。 四.图像锐化   图像识别中需要突出边缘和轮廓信息，从而引出锐化的概念，图像锐化的目的是加强图像的边缘和轮廓，使图像看起来比较清晰，因此也称为边缘增强。   从频谱角度分析，图像模糊的实质是因其高频分量被衰减，因而可以用加高频滤波来使图像清晰。 1.图像锐化方法的引出： 平滑滤波器通过对图像进行积分，使图像的边缘轮廓产生了模糊。那么是否有一种滤波器通过对图像进行积分的逆运算（微分）使图像的边缘轮廓更加清晰呢？基于这个问题，经过前人的推导，答案被证实。 2.锐化常采用微分法： （1）通过灰度剖面图像进行细节描述

  灰度值剖面的一阶微分在图像由暗到明位置处有一个向上阶跃，在图像由明到暗位置处有一个向下阶跃，而在其它位置为零。   表明可用一阶微分的极大值来识别该剖面的灰度细节。   灰度值剖面的二阶微分在一阶微分的阶跃上升区有一个向上脉冲，在阶跃下降区有一个向下脉冲。两阶跃之间有一个过零点，这过零点正对应原图灰度变化细节。   表明可用二阶微分过零点检测图像中灰度变化细节位置。 （2）通过锐化进行图像增强： 分为无方向性锐化和有方向性锐化 a）梯度法 梯度定义为 梯度的两个重要性质是： 1）梯度的方向在函数f(x,y)最大变化率的方向上。 2）梯度的模（幅度）用由下式算出： 梯度的数值就是f（x，y）在其最大变化率方向上的单位距离所增加的量。 对于离散图像处理而言，常用到梯度的大小，因此把梯度的大小习惯称为“梯度” 递度模值的计算可简化成为：

产生如下梯度模板： 注：此种锐化方法需要进行后续处理，以解决灰度值为负的问题 （1）整体加一个正整数 （2）将所有的像素值取绝对值。 b）交叉微分 Sobel算子计算梯度 说明：可用于提取出物体如建筑物的细节轮廓。Roberts边缘检测算子是一种利用局部差分算子寻找边缘的算子，Robert算子图像处理后结果边缘不是很平滑。由于Robert算子通常会在图像边缘附近的区域内产生较宽的响应，故采用上述算子检测的边缘图像常需做细化处理，边缘定位的精度不是很高。 c）Sobel微分算子(锐化边缘信息较强)    交叉微分算子可以获得景物细节的轮廓。但由于模板的尺寸是偶数，故待处理像素不能放在模板中心位置，处理的结果就会有半个像素的错位。

Sobel微分算子是一种奇数3×3的模板下的全方向微分算子。 Sobel微分算子定义如下：

d）Priwitt微分算子（与Sobel相比，形式几乎无差别，计算相对简单，有一定的抗干扰，图像效果比较干净。）    有时需要在图像中抽出某一特定方向的轮廓线，这时可以使用方向模板来达到这一目的。根据所需的方向，可从下列8种模板中先取合适的模板。 Priwitt微分算子定义如下： 3.梯度图像    概念：使各点灰度g（x，y）等于该点的梯度幅度。缺点是增强的图像仅显示灰度变化比较陡的线条边缘轮廓，而灰度变化平缓的区域则呈黑色。 g（x，y）可分为以下四类：    (1)适当选取一个门限值T，它可以有效地增强边缘轮廓而不影响灰度变化较平缓的背景特征。即 T是非负的阈值，超过T则用该点的梯度值，否则保持原值。    (2)为了得到图像清晰的边界，并仍然保持灰度变化平缓区域的原有图像特性。即 LG是给边缘规定的一个固定灰度值    (3)为了突出边缘灰度变化，而不观察背景。即 LB是图像背景规定的灰度值

   (4)还可设置只留两个灰度级，可得二值梯度图像，供研究边缘位置。 设置两个灰度级，可得二值梯度图像，供研究边缘位置。 五.二阶微分法的锐化 1.拉普拉斯微分算子：拉普拉斯算子是常用的边缘增强算子，拉普拉斯运算也是偏导数运算的线性组合运算，而且是一种各向同性（旋转不变性）的线性运算。拉普拉斯算子具有一个好的特性，即各向同性（旋转对称性，即与坐标轴方向无关，坐标轴旋转后梯度结果不变）。而这是一阶微分算子所不具有的。 2.从模板形式容易看出，如果在图像中一个较暗的区域中出现了一个亮点，那么用拉普拉斯运算就会使这个亮点变得更亮。因为图像中的边缘就是那些灰度发生跳变的区域，所以拉普拉斯锐化模板在边缘检测中很有用。一般增强技术对于陡峭的边缘和缓慢变化的边缘很难确定其边缘线的位置。但此算子却可用二次微分正峰和负峰之间的过零点来确定，对孤立点或端点更为敏感，因此特别适用于以突出图像中的孤立点、孤立线或线端点为目的的场合。同梯度算子一样，拉普拉斯算子也会增强图像中的噪声，有时用拉普拉斯算子进行边缘检测时，可将图像先进行平滑处理。 3.拉普拉斯算子的变形     为了改善锐化效果，可以脱离微分的计算原理，在原有的算子基础上，对模板系数进行改变，获得Laplacian变形算子如下所示。 将原始图像和拉普拉斯图像叠加在一起的简单方法可以保护拉普拉斯锐化处理的效果，同时又能复原背景信息。