第六章·梁的应力分析与强度计算

Lagrange力学是一种n维曲面上的Riemann几何

希望能有机会搞清楚这些事情orz

定义截面法向为x，其静矩为：

S_y=\int_A z dA\\\ S_z=\int_A y dA \\

静矩可以近似理解为：单位面积对于某一坐标轴的重力的矩，实际上就是某种静面积/静力的矩（设单位面积上的力为一个单位）。

设形心坐标为(y_c,z_c)，则有

S_y=Az_c=\int_A z dA \\\ S_z=Ay_c=\int_A y dA \\

概括即为：分力之矩之和等于合力之矩本质上是Lagrange中值定理。

Hints:

对于组合图形，静矩的确定方式可以类比质心：

S_y=\sum_{i=1}^nA_iy_{Ci}=Ay_C \\\ S_z=\sum_{i=1}^nA_iz_{Ci}=Az_C \\

惯性矩被称为二阶矩，静矩被称为一阶矩。

I_y=\int_A z^2 dA \\\ I_z=\int_A y^2 dA \\

此时产生了惯性半径i_y、i_z的定义为（在将来稳定性分析时会用得到）：

i_y=\sqrt\frac{I_y}{A} \\\ i_z=\sqrt\frac{I_z}{A} \\

定义对于y、z轴的惯性积I_{xy}为：

I_{xy}=\int_A xy dA \\

定义图形对于O点的极惯性矩I_P为：

I_P=\int_Ar^2dA \\

且极惯性矩与轴惯性矩有关系：

I_P=I_y+I_z \\

Hints：

其本质是坐标的平移变换。

这是非常遗憾的一件事。（笑

因此，简化方程为标准形式，保留下来的仅为最基本的不变量。

设老坐标系y-z（注意z为横轴）的原点O在新坐标系y_1-z_1下坐标为(a,b)，已知I_y、I_z、I_{yz}，求I_{y1}、I_{z1}、I_{y_1z_1}

已知坐标变换关系为：

y_1=y+a \quad z_1=z+b \\

因此根据惯性矩、惯性积的定义可得：

I_{y_1}=\int_A (z+b)^2 dA \\\ I_{z_1}=\int_A (y+a)^2 dA \\\ I_{y_1z_1}=\int_A(z+b)(y+a)dA \\

即有：

\begin{aligned} &I_{y 1}=I_{y}+2 b S_{y}+b^{2} A \\\ &I_{z 1}=I_{z}+2 a S_{z}+a^{2} A \\\ &I_{y 1 z 1}=I_{y z}+a S_{y}+b S_{z}+a b A \end{aligned} \\

当老坐标正好通过图形的形心时，静矩S为0，则有：

\begin{aligned} &I_{y 1}=I_{y}+b^{2} A \\\ &I_{z 1}=I_{z}+a^{2} A \\\ &I_{y 1 z 1}=I_{y z}+a b A \end{aligned} \\

Hints:

本质上是坐标的旋转变换。

设老坐标y-z逆时针旋转\alpha角得到新坐标系y_1-z_1：

可知坐标变换关系为：

\left(\begin{array}{l} z_{1} \\\ y_{1} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} \cos \alpha & \sin \alpha \\\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} z \\\ y \end{array}\right) \\

由定义可知，新坐标系下惯性矩、惯性积则为：

\begin{aligned} &I_{y 1}=\frac{I_{y}+I_{z}}{2}+\frac{I_{y}-I_{z}}{2} \cos 2 \alpha+I_{y z} \sin 2 \alpha \\\ &I_{z 1}=\frac{I_{y}+I_{z}}{2}-\frac{I_{y}-I_{z}}{2} \cos 2 \alpha-I_{y z} \sin 2 \alpha \\\ &I_{y 1 z 1}=-\frac{I_{y}-I_{z}}{2} \sin 2 \alpha+I_{y z} \cos 2 \alpha \end{aligned} \\

Hints:

显然存在某个\alpha_0，使得：

I_{y 0 z 0}=-\frac{I_{y}-I_{z}}{2} \sin 2 \alpha_{0}+I_{y z} \cos 2 \alpha_{0}=0 \\

则称此时这一对坐标轴为主轴。

且显然有：

\tan 2 \alpha_{0}=\frac{2 I_{y z}}{I_{y}-I_{z}} \\

此时的轴惯性矩为：

\begin{aligned} &I_{y 0}=I_{\max }=\frac{I_{y}+I_{z}}{2} \pm \frac{1}{2} \sqrt{\left(I_{y}-I_{z}\right)^{2}+4 I_{y z}^{2}} \\\ &I_{z 0}=I_{\min }=\frac{I_{y}+I_{z}}{2} \mp \frac{1}{2} \sqrt{\left(I_{y}-I_{z}\right)^{2}+4 I_{y z}^{2}} \end{aligned} \\

Hints:

对称面：梁的横截面具有对称轴，所有相同的对称轴组成的平面，称为梁的对称面

主轴平面：梁的横截面没有对称轴，但是都有过横截面形心的主轴，所有相同的形心主轴组成的平面称为梁的主轴平面。对称面是特殊的主轴平面。

产生平面弯曲的条件：

纯弯曲：当截面上只有弯矩，没有其他内力时，即为纯弯曲

横向弯曲：除了弯矩之外，还有横向的剪力

中性层：在伸长与压缩的交界处，存在既不发生拉伸，也不发生缩短变形的一层，称为中性面/中性层

中性轴：中性面与梁的横截面的交线，称为截面的中性轴，是应力为0的轴线

平面假定：纯弯曲之前为平面，弯曲之后横截面仍保持平面，只是绕其中心轴转过一个小角度。

取微段dx，其上距离中性轴y处长度的改变量为：

\Delta \mathrm{d} x=-y \mathrm{~d} \theta \\

可知线段的正应变为：

\varepsilon=\frac{\Delta \mathrm{d} x}{\mathrm{~d} x}=-y \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} x}=-\frac{y}{\rho} \\

其中由几何关系可知，曲率（与坐标无关）可表示为：

\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} x}=\frac{1}{\rho} \\

应用胡克定律可知，横截面上正应力分布为：

\sigma=-E \frac{y}{\rho} \\

但此时并不确定曲率半径\rho与中性轴的位置，需要使用平衡方程确定

由于纯弯曲时，轴力为0，弯矩为M_z：

\int_{A} \sigma \mathrm{d} A=F_{\mathrm{N}}=0 \\\ \int_{A}(\sigma \mathrm{d} A) y=-M_{\mathrm{z}} \\

整理可得：

\frac{1}{\rho}=\frac{M_{z}}{E I_{z}}=\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} x} \quad \sigma=-\frac{M_{z}}{I_{z}} y \\

上述公式可计算纯弯曲相对转过的圆心角，即对d \theta积分即可。

若使轴力为0，则需要\int_A ydA=S_z=0，因此**z轴必须过形心**。

工程最感兴趣的是最大应力，当y取最大时，则有：

\sigma_{\max }=\frac{M_{z} y_{\max }}{I_{z}}=\frac{M_{z}}{W_{z}} \quad W_{z}=\frac{I_{z}}{y_{\max }} \\

其中W_x称为弯曲截面模量，量纲