一课研究：三年级学生“分数”理解水平层次研究

对于三年级分数的教学，教师普遍感觉教学预设与实际生成之间差距甚远。比如第一课时初步认识分数时，常规的教学设计先让学生动手操作分一分，然后按照固定的语言模型来表达分数的意义，看似学生表达清清楚楚，但图形表征一变式，学生就陷入囧境，不理解其分数的含义了。在简单的分数计算和比较大小时，教师觉得自己已讲清楚，学生却错误频发，结果导致师生都焦头烂额。同时在三年级对分数的认识有偏差或不足，将对五年级分数的再认识和运用造成严重的后果，且无法弥补。

心理学家奈瑟认为，认知过程是建构性质的，形成良好的认知是学习的核心任务。因此，教师应从研究如何教转向研究学生的如何学。学生对于分数的认知存在着基本的共性和个体层次差异，客观存在着的差异需要引起教师的正视。通过实证研究，将三年级学生对分数理解情况进行了水平层次划分，试图分析出学生在初步认识分数阶段的困难所在及教学建议。

水平0:分数潜概念水平

指标1：理解平均分的含义，能用除法解决整数范围内平均分问题。

指标2：结合具体情境，能理解“整体与部分”的关系。

“平均分”概念出现在分数初步认识之前，它是分数认识中最有价值的概念。通过测试数据可以看出在整数范围内，学生已经理解了“平均分”的含义。题1.3是一道开放题，正确率是85.95%，错误的学生虽然能理解题目的意思，但无法写出所有的答案，可见部分学生对“平均分”概念理解的水平，但没有到达探究规律的层次，没有发现平均分的份数与每份数的变化关系。“整体与部分”的关系是学生认识分数之前另一个重要的基础，题2.1是针对学生对“整体与部分”间关系的理解程度，从测试数据反馈出学生对于实物、平面图形多种表征中，都能理解“部分与整理”关系。题2.3中，“整体与部分”的关系是多元的，有25.2%只选择了A，58%的学生只选择了B,而仅有15.8%选择了A和B。后续的个别访谈中得知，学生对于离散的表征更容易找出“整体与部分”之间的关系，而对于半个圆是一个圆的一部分，学生通过画一画，分一分，就能迅速领悟，从中也能看出，学生学习分数时必须基于“动手操作”活动。以上数据可以表示学生对于初步理解分数意义做好了全面准备。

水平1：分数形式化理解

（分数单位所对应的量是单个物体）

指标：能在直观图（二维或三维离散量）上明确分数的意义。

人教三年级上册《教师教学用书》中指出，儿童通过不同的方式表征同一分数概念的能力，即表征转换能力，代表了学生对分数概念的理解水平。通过多种外在的表征方式，可以加深学生对分数的认识。表征方式的多样性可以为问题解决带来灵活性。学生面对这些分数的表征，认知的水平是如何，笔者从现行各套教材中挑选一些典型表征图例，对学生进行测试。我们发现，“子集—集合”模式比“部分—整体”模式容易，可能是因为“部分—整体”模式时要先处理等分的关系。平面图形比立体图形容易找出对应的分数，“规则图形”比“不规则图形”容易理解分数的含义；连续量表征平面图形中，学生对面积模型容易理解，最难理解的是数轴模型。

题3.6源自台湾教材，是不规则的平均分形式，对学生造成了很大困难。答题错误中有81%的学生空着没做，认为这图没有平均分。答题正确的学生10%是作答1/2,90%是作答2/4。访谈中发现，填写1/2的学生中并非所有的学生都认为是整个图形的1/2，有53%的认为是左边或右边图形的一半，所以填写1/2。也就是说答案虽然正确，但理解有偏差。

水平2：分数数概念

指标：明确分数同整数一样，也是一个数。知道分数的各部分名称，并能结合图示描述分数的意义。能结合图示感知分数有大小，并会比较分子是1的分数大小。

皮亚杰的实验发现：10岁左右的学生能把小的规则图形较精确地进行十以内数量的等分，但学生在初步学习分数时，对分数特有的表示方法不能立即掌握，对于由图形语言到符号语言表达的转换存在着一定的差异。因此，将分数的数概念排列在水平2。通过第7题的测试，我们发现学生对于分数是不是一个数，有着不同程度的理解，对错题学生的访谈中有51%的学生认为分数就是分数，不是一个数，他所指的数其实是“自然数”。从而发现学生并没有将分数与整数进行很好的沟通。不理解数是一个大家族，分数是其中的一个特殊的家庭。另外，需要指出的是此水平仍处理形式化理解分数的“份数”定义阶段，需要依据具体图示来帮助理解分数。

水平3：分数单位理解水平

结合实物，理解分数是由若干个单位所组成的；能理解同分母分数加减法的实质是分数单位个数相加减；同分母分数比较大小是分数单位的个数比较。水平界定：三四年级不出示分数单位的名称，是结合具体情境理解一个分数是由若干个几分之一组成。其实质是对分数单位的理解。

指标1：根据图示理解单位一中的任意一份都是分数单位，能理解任意分数都由若干个相应的分数单位组成。

指标2：同分母分数加减法的实质是分数单位个数相加减；同分母分数比较大小是分数单位的个数比较。

分数是分数单位的累加，分数单位是分数的核心概念。指标1：题10.1-10.2都是结合图示找出对应的分数单位数量，题10.3是纯文字叙述。学生“计算题”的正确率都明显高于实际应用的“解决问题”，部分学生停留在“运算层次”而没有达到“理解层次”、“分析层次”。这一点值得我们思考，学生是否真正理解分数在题中的含义。从测试发我们发现，即使在具体图示中理解分数单位也要难于分数的“数概念”，但如果教材中编排有相关教学内容，学生亦能掌握，并且将为后续五年级分数意义的学习奠定基础。

水平4：分数形式化理解“份数”定义

（分数单位对应的是多个物体）

指标1：结合具体情境，根据分数单位求出所对应的具体量。

指标2：分率不变，分数单位随着单位一的增大而对应的量增大。

指标3：单位一不变，分数单位对应多个物体量。从二维——三维——不规则图形，不同的表征对分数单位的理解是否有影响。

备注：题12中，6/10与3/5两种答案都正确

题15中，15-1答案是1/2,15-2答案是2/4

水平4与水平1同为分数形式化理解，但层次不同。水平4指分数单位对应的具体量是多个物体,是“份数”定义更明确的体现。题12答题正确中有84.9%直接写出3/5,做答6/10的学生经引导能理解3/5的含义。题15显示学生能关注到分的份数，理解部分与整体的关系。另外需要指出的是题 16、17中，立体图形连续量的模型或不规则图形模型对学生理解分数意义造成了干扰，学生能找出分数所对对应的数量，但画的时候有一定困难。

水平5：对分数无量纲性的理解

结合具体情境理解在单位一（一个物体）不同的情况下，同样的分数表示的具体量是不同的。指标：结合具体情境理解在单位一（一个物体）不同的情况下，同样的分数表示的具体量是不同的。

史宁中教授认为分数主要有两个作用: 一个是作为有理数出现的一种数, 它能和其他的数一样参与运算; 另一个是以比的形式出现的数. 而后者是小学分数教学的重点.因此, 最重要的分数应该是真分数, 它代表一个事物或一个整体的一部分, 其本质在于它的无量纲性。考虑到三年级学生的认知特点，本层次的测题都运用学生熟悉的情境，题18配有具体图示，从测试结果看，题18的正确率高于题19，再一次验证了具体图示对三年级学生理解分数意义的重要性。对于题18，学生的解释大多为：书的厚度不同，所以1/3不一样。有10%的学生认为两个1/3是一样的。题19，共有40.4%能正确分析，他们认为长大后两人的收入不同，所以捐出的钱也不一样多。笔者认为，能够正确分析的学生才是能够理解分数无量纲性的标志。

启示及建议

01

将“模型思想”融入分数概念教学

张奠宙教授将分数的定义概括为四种：份数定义；商定义；比定义；有理化定义。在小学阶段以前两种定义为主，以三年级学生的认知结构和认识水平，学生清晰地理解并掌握份数定义即可，但不要过分强调和公式化，容易对后续的学习造成负面影响。

数域扩展为学生数概念的认知结构带来冲击，学生需要新建构“分数”概念的认知。通过测试我们发现，学生已经具备学习“分数”的能力，在熟悉的情境直观模型的辅助下，从操作入手，经历把一个整体平均分成几部分，所关注的部分与整体之间的关系可以用一个新的数来表示，并建立行为与分数符号之间的对应关系，这样从率的角度来理解其“份数定义”。“模型思想” 《义务教育数学课程标准(2011年版)》的核心词之一，分数概念教学应遵循学生认知水平，从平均分的原型出发，设计有利于学生抽象“分数数学模型”的教学活动，让学生经历分数从“生活原型——模型——数学模型”的分数建构过程。

02

将“多元表征”贯穿分数初步认识始终

在小学阶段主要学习“能分的分数”。学生对分数的抽象理解过早或过晚都不利于学生的发展，学生对分数的不同理解存在显著的个体差异，在上述水平层次中，有些三年级学生能达到第五个水平，有些只能理解到第三个水平，需要等待很长的时间才能提高水平层次。教师在教学时首先要承认学生之间的差异，了解学生在认识分数过程中的水平层次及认知特点，在一开始就要利用不同的实物模型，从平均分中帮助学生理解分数含义的多重性和复杂性。

通过测试发现，对于学生来说多元的表征模型中，线段模型是最抽象的，但是线段模型是数轴的雏形，在学习自然数的时候，已经用过这样的表示方法，应该在分数学习时继续使用线段模型来表示分数，但要注意出现的顺序，要晚于其它容易理解的表征模型。另外，不规则图形或稍复杂图形的平均分也应在适当的时机出现，让学生用分数来表示。在思考和辨析中理解分数的意义，以丰富学生的分数表征的认知结构。

03

将“分数单位”做为核心概念理解

分数同整数一样也有计数单位，整数的计数单位一、十、百、千容易理解掌握。分数单位是分数的计数单位，无论几分之一都是表示若干个一，或把1分成若干分中的一份。分数的计数单位并不固定，是与由其等分的数量有关，这对于学生来说是抽象的，不易理解。但是对分数单位的掌握是对分数意义理解和运用的重要因素，分数的运算，大小比较，解决问题等都将以分数单位为基础。如同分母分数加减法，实际是相同分数单位的分数相加减。

笔者建议在三年级这个阶段，应重视几分之一与几分之几关系的教学，通过具体图示和情境，潜移默化地让学生理解分数都是由若干个分数单位叠加而成，同时从分数单位的学习入手，渗透理解分数就是表示两个数（量）之间的关系的思想。

04

将“理解分率”做为与分数再认识沟通的桥梁

笔者认为分数单位对应的量是一个物体还是多个物体，是一个跨度比较大的水平分界。当分数单位对应的量是一个物体时，分数既可以表示具体量，也可以表示分率。但当分数单位对应多个物体时，其表示的就是分率，对于三年级学生来说比较抽象，理解时存在一定的困难。如果过早出现是不利于分数“份数”概念的基础建构。但等到五年级再出现“分数单位对应量是多个物体”，认知断层太过明显。五年级安排了分数的意义及运算，知识点众多，信息量大，学生学习理解有压力，因此笔者认为人教2011版教材在本单元后半部分增加了“分数的简单应用”是很有必要的，安排了“把一些物体看做个整体平均分成若干份，其中的一份或几份也可以用分数表示“的教学内容。还编排了“求一个数的几分之一或几分之几”的问题，与五年级进一步学习分数的意义进行了沟通。

结语

“凡事预则立，不预则废”，教学设计是教学的“预”，要以利用和形成学生良好的认知结构为价值取向和目标指向，进行结构化、层次化的教学设计。了解三年级学生的认知心理，划分三年级学生对分数的理解层次水平对教学设计的重要参考依据。让“因材施教”这句古训在当今数据化时代体现更深刻的价值。

5

大自然中的几何之美，上帝一定是数学家

没有两片雪花的形状是完全相同的。但很神奇的是，它们每一片都是六边形，也是一个对称图案的完美代表。科学家们努力在阐释植物、动物中对称性存在的合理化。然而雪花这种无生命体，居然也是轴对称。这让他们彻底困惑了。

松果的排列步数几乎总是匹配一对连续的斐波那契数。例如，三到五个锥体沿着左螺旋三步走，后面五个步骤在后面相交。

蜂巢是一个自然对称的典型案例。蜜蜂是个技术高超的几何学建筑师。多少年来，人类一直赞叹蜂巢别具匠心的六边形结构。它最大限度地节约了空间，最少地用到了蜂蜡，最多地储存蜂蜜。

一棵树主干生长，分出两枝，其中一根再分出两枝，另一根休眠。这种分枝模式不断重复，形成斐波那契序列。

审核人：应桢增 返回搜狐，查看更多